Variations de fonctions (1)

👉 Pour étudier les variations d'une fonction, on peut en calculer la dérivée afin d'étudier le signe de cette dernière.

Exercice 1

$f(x) =-x^2+ 2x + 3$ et a = -1.
La fonction $f$ est une fonction polynôme définie et dérivable sur R.
Calculons la dérivée de $f$, on a :

$f'(x)=-2x+2$
Une équation de la tangente peut s'écrire $y= f'(a)(x-a )+f(a)$, calculons la pour $a=-1$, on a:
$y= -(-1)^2 + 2 \times (-1) + 3 + (-2 \times (-1) + 2)(x + 1)$
$y = -1 - 2 + 3 + 4(x + 1)$
On en déduit donc que la tangente à la courbe représentative de $f$ au point de la courbe d'abscisse $-1$ est :
$y = 4x + 4$

Étudions le signe de la dérivée qui est $f'(x) = -2x+2$.
La dérivée est donc positive sur ]$-\infty$ ; 1 [ et négative sur ] 1 ;+$\infty$[

La fonction $f$ est donc croissante sur ]-$\infty$ ; 1 [ et décroissante sur ] 1 ;+$\infty$[.

Exercice 2

$f(x) =\dfrac{x+3}{x-2}$
La fonction $f$ est le quotient de deux fonctions polynômes. C'est une fonction rationnelle, définie et dérivable partout où elle est définie c'est à dire sur $]-\infty\;;\;2[ \text{ et sur } ]2\;;\;+\infty[$
Calculons sa dérivée à l'aide de $\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$
On a donc:

$f'(x)=\dfrac{(x-2)-(x+3)}{(x-2)^2}$
$f'(x)=\dfrac{x-2-x-3}{(x-2)^2}$
$f'(x)=\dfrac{-5}{(x-2)^2}$
Pour $a=3$ on a donc $f'(a)=\dfrac{-5}{(3-2)^2}=-5$
La tangente à la courbe (C) représentative de $f$ au point $A$ de la courbe d'abscisse $a$ admet donc pour équation :

$y=-5(x-3)+\dfrac{3+3}{3-2}=6-5x+15$
$y=-5x+21$

Étudions le signe de la dérivée qui est $f'(x) =\dfrac{-5}{(x-2)^2}$
$-5$ ne s'annule jamais et $(x-2)^2$ s'annule en $2$ en restant positif.

La dérivée est donc toujours négative, la fonction $f$ est donc décroissante sur chaque intervalle où elle est définie.

Exercice 3

$f(x)=\dfrac{x^2+x+1}{x+2}$ et $a = 1$

La fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}\setminus{ -2}$ et est dérivable partout où elle est définie comme quotient de deux fonctions dérivables dont le dénominateur ne s'annule pas.
La fonction $f$ est donc dérivable sur $]-\infty\;;\;-2[ \text{ et sur } ]-2\;;\;+\infty[$

Calculons sa dérivée à l'aide de $\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$
On a donc :

$f'(x)=\dfrac{(2x+1)(x+2)-(x^2+x+1)}{(x+2)^2}=\dfrac{x^2+4x+1}{(x+2)^2}$

Une équation de la tangente peut s'écrire : $y=f'(a)(x-a)+f(a)$. Déterminons la pour a=1, on a:
$f'(1)=\dfrac{6}{9}=\dfrac{2}{3}$
$y= 1+\dfrac{2}{3}(x-1)=1+\dfrac{2x}{3}-\dfrac{2}{3}$
$y =\dfrac{2}{3}x+\dfrac{1}{3}$
On en déduit donc une équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point de la courbe d'abscisse 1 , qui est :
$y =\dfrac{2}{3}x+\dfrac{1}{3}$

Étudions le signe de la dérivée :
Sur l'ensemble de définition de $f$ , le dénominateur est strictement positif (carré non nul), donc la dérivée a le même signe que son numérateur qui est $x^2+4x+1$
Les racines de ce polynôme du second degré sont $-2-\sqrt{3}\text{ et } -2+\sqrt{3}$, et ce polynôme du second degré est donc du signe du coefficient de $x^2$ c'est à dire positif à l'extérieur des racines, et négatif entre les racines.

La dérivée est donc positive sur ]-$\infty$ ; $-2-\sqrt{3}$ [ $\cup$ ]$-2+\sqrt{3}$ ;+$\infty$[ et négative sur ]$-2-\sqrt{3}$ ; $-2+\sqrt{3}$[.
On en déduit que la fonction $f$ est croissante sur ]-$\infty$ ; $-2-\sqrt{3}$[ $\cup$ ]$-2+\sqrt{3}$ ; +$\infty$[ et décroissante sur ]$-2-\sqrt{3}$ ; $-2+\sqrt{3}$[.
On récapitule ces informations dans un tableau de variations (qui ici n'est pas complet car ne comporte pas les valeurs limites de $f$).