Dérivées de fonctions simples ou composées

1. $f(x)=2x^3-5x^2+x+1$

$f'(x)=6x^2-10x+1$

2. $f(x)=(2-x)^3$
   On se sert de $(u^n)'=nu^{,n-1}\cdot u'$ en posant $u(x)=(2-x)$.

$f'(x)=3(2-x)^2\times(-1)$

$f'(x)=-3(2-x)^2$

3. $f(x)=\dfrac{4}{x}$
   Cette expression peut s'écrire $4\times\dfrac{1}{x}$.
   De plus, $\dfrac{1}{x}$ est une fonction usuelle dont la dérivée est $\dfrac{-1}{x^2}$.

Soit : $f'(x)=4\times\dfrac{-1}{x^2}$.

$f'(x)=\dfrac{-4}{x^2}$

4. $f(x)=\dfrac{-2}{x-1}$
   On va se servir de $\left(\dfrac{1}{v}\right)'=\dfrac{-v'}{v^2}$ en posant $v(x)=x-1$.

$f'(x)=-2\times\dfrac{-1}{(x-1)^2}$

$f'(x)=\dfrac{2}{(x-1)^2}$

5. $f(x)=\dfrac{2x-1}{x+2}$
   On se sert de $\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ en posant $u(x)=2x-1$ et $v(x)=x+2$.

Ce qui donne : $f'(x)=\dfrac{2(x+2)-(2x-1)}{(x+2)^2}$

$f'(x)=\dfrac{5}{(x+2)^2}$

6. $f(x)=3x-5+\dfrac{3}{2x}$

La dérivée de $f$ est $f'(x)=3-\dfrac{6}{4x^2}$

$f'(x)=3 - \dfrac{3}{2x^2}$

7. $f(x)=x^2+\sqrt{x}$

$f'(x)=2x+\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$

8. $f(x)=\sqrt{5x-4}$.
   On va se servir de $\left(\sqrt{u}\right)'=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$ avec $u(x)=5x-4$.

$f'(x)=\dfrac{5}{2\sqrt{5x-4}}$