Variable aléatoire : tirage de boules avec remise

Énoncé

Une urne contient trois boules : une jaune J, une verte V et une rouge R, indiscernables au toucher.
On tire successivement deux boules dans l'urne, en remettant la première, après avoir noté sa couleur, avant de tirer la deuxième.
On appelle résultat, un couple dont le premier élément est la couleur de la boule obtenue au premier tirage, et le second élément celle obtenue au second tirage.
Par exemple, le couple (J ; V) est un résultat différent du couple (V ; J).

Déterminer l'ensemble des 9 résultats possibles (on pourra s'aider d'un tableau ou d'un arbre).
On convient de la règle de jeu suivante, associée au tirage précédent :
pour chaque boule jaune tirée, le joueur perd 3 €;
pour chaque boule verte tirée, le joueur gagne 1 €;
pour chaque boule rouge tirée, le joueur gagne $k$ € (où $k$ est un nombre positif).
On désigne par $X$ la variable aléatoire qui à tout tirage associe le gain (positif ou négatif) du joueur.
Par exemple, pour le tirage (J ; V) le gain est de -2 €.
a) Déterminer les valeurs prises par la variable aléatoire $X$ .
b) Donner la loi de probabilité de $X$
c) Calculer l'espérance $E(X)$ de la variable $X$ en fonction de $k$ .
d) Quelle valeur faut-il donner à $k$ pour que le jeu soit équitable ?

L'ensemble des résultats possibles est: $\boxed{\lbrace (V,V) \text{ , } (V,J) \text{ , } (V,R) \text{ , } (J,J) \text{ , } (J,V) \text{ , } (J,R) \text{ , } (R,R) \text{ , } (R,V) \text{ , } (R,J) \rbrace}$
a) On a :

$\left\lbrace\begin{matrix} \text{Si } (J,J) \text{ alors } X=-6 \\ \text{Si } (J,V) \text{ ou } (V,J) \text{ alors } X=-2 \\ \text{Si } (J,R) \text{ ou } (R,J) \text{ alors } X=-3+k \\ \text{Si } (V,V) \text{ alors } X=2 \\ \text{Si } (V,R) \text{ ou } (R,V) \text{ alors } X=k+1 \\ \text{Si } (R,R) \text{ alors } X=2k \end{matrix}\right.$

Conclusion :
$\boxed{X\in\lbrace -6;-2,2,k-3,k+1,2k\rbrace}$

b) La loi :
$\begin{array}{|c|cccccc|} \hline X=x_i & -6 & -2 & 2 & k-3 & k+1 & 2k \\ \hline P\left(X=x_i\right) & \dfrac{1}{9} & \dfrac{2}{9} & \dfrac{1}{9} & \dfrac{2}{9} & \dfrac{2}{9} & \dfrac{1}{9} \\ \hline \end{array}$

2. c) L'espérance de la variable X est :

$E(X)=-6\times\dfrac{1}{9}-2\times \dfrac{2}{9} +2\times\dfrac{1}{9}+(k-3)\times\dfrac{2}{9}+(k+1)\times\dfrac{2}{9}+2k\times\dfrac{1}{9}$
$E(X)=\dfrac{-6-4+2+2(k-3)+2(k+1)+2k}{9}$
$E(X)=\dfrac{-12+6k}{9}$
$E(X)=\dfrac{-4+2k}{3}$
$E(X)=\boxed{\dfrac{2}{3}(k-2)}$

d) Le jeu est équitable pour une espérance nulle :

$E(x)=0\Longleftrightarrow \dfrac{2}{3}(k-2)=0 \Longleftrightarrow k-2=0 \Longleftrightarrow \boxed{k=2}$

Énoncé

Déterminer l'ensemble des 9 résultats possibles (on pourra s'aider d'un tableau ou d'un arbre).
On convient de la règle de jeu suivante, associée au tirage précédent :
pour chaque boule jaune tirée, le joueur perd 3 €;
pour chaque boule verte tirée, le joueur gagne 1 €;
pour chaque boule rouge tirée, le joueur gagne $k$ € (où $k$ est un nombre positif).
On désigne par $X$ la variable aléatoire qui à tout tirage associe le gain (positif ou négatif) du joueur.
Par exemple, pour le tirage (J ; V) le gain est de -2 €.
a) Déterminer les valeurs prises par la variable aléatoire $X$ .
b) Donner la loi de probabilité de $X$
c) Calculer l'espérance $E(X)$ de la variable $X$ en fonction de $k$ .
d) Quelle valeur faut-il donner à $k$ pour que le jeu soit équitable ?

L'ensemble des résultats possibles est: $\boxed{\lbrace (V,V) \text{ , } (V,J) \text{ , } (V,R) \text{ , } (J,J) \text{ , } (J,V) \text{ , } (J,R) \text{ , } (R,R) \text{ , } (R,V) \text{ , } (R,J) \rbrace}$
a) On a :

Conclusion :
$\boxed{X\in\lbrace -6;-2,2,k-3,k+1,2k\rbrace}$

b) La loi :
$\begin{array}{|c|cccccc|} \hline X=x_i & -6 & -2 & 2 & k-3 & k+1 & 2k \\ \hline P\left(X=x_i\right) & \dfrac{1}{9} & \dfrac{2}{9} & \dfrac{1}{9} & \dfrac{2}{9} & \dfrac{2}{9} & \dfrac{1}{9} \\ \hline \end{array}$

2. c) L'espérance de la variable X est :

d) Le jeu est équitable pour une espérance nulle :

$E(x)=0\Longleftrightarrow \dfrac{2}{3}(k-2)=0 \Longleftrightarrow k-2=0 \Longleftrightarrow \boxed{k=2}$

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