Espérance d'une variable aléatoire

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L'espérance d'une variable aléatoire est un concept clé en probabilité, représentant la moyenne pondérée des valeurs possibles selon leurs probabilités. Calculée comme la somme des produits de chaque valeur par sa probabilité, l'espérance permet de déterminer le comportement moyen d'un jeu ou d'un événement. Un jeu est dit équitable lorsque son espérance est nulle. Découvrez également la propriété linéaire de l'espérance et comment l’appliquer à une variable aléatoire transformée. Mots-clés : Espérance d'une variable aléatoire, Calcul de l'espérance, Jeu équitable en probabilité, Propriété linéaire de l'espérance, Espérance moyenne pondérée, Loi de probabilité et espérance

Soit $X$ une variable aléatoire.

Définition : L’espérance de $X$ est le nombre réel :

$E[X] = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i = x_1 p_1 + \dots + x_n p_n$

Remarque : Un jeu est équitable lorsque $E[X] = 0$ .

Propriété : Soit $X$ une variable aléatoire et considérons la variable aléatoire $Y$ définie par : $Y = aX + b \quad \text{où} \quad a, b \in \mathbb{R}$

Alors, $E[Y] = E[aX + b] = a E[X] + b$

On dit que l’espérance est linéaire.

Exemple :

On considère une variable aléatoire $Y$ dont la loi de probabilité est donnée par le tableau suivant.

$y_i$	$-4$	$0$	$4$	$20$
$p(Y = y_i)$	$0,5$	$0,2$	$0,2$	$0,1$

On a :
$E(Y)=0,5×(−4)+0,2×0+0,2×4+0,1×20=0,8$ .