Variable aléatoire : tirage dans 2 urnes

Énoncé

Le Comité des fêtes d'un village organise une loterie à l'aide de deux urnes.
L'urne $U1$ contient trois boules rouges notées $R1$ , $R2$ , $R3$ et deux boules jaunes notées $J1$ et $J2$ .
L'urne $U2$ contient quatre boules bleues notées $B1$ , $B2$ , $B3$ , $B4$ et une boule verte $V$ .
Pour participer à cette loterie, un joueur doit d'abord miser 3 €. Il tire ensuite au hasard une boule dans $U1$ , puis une boule dans $U2$ . Les boules sont indiscernables au toucher. On suppose que tous les tirages de couples de boules sont équiprobables.

A l'aide d'un tableau ou d'un arbre, montrer qu'il y a 25 couples de boules possibles.
Une boule rouge fait gagner 2 €.
Une boule jaune fait gagner 3 €.
Une boule bleue fait gagner 1 €.
La boule verte fait gagner 5 €.

A chaque tirage de 2 boules la variable aléatoire $X$ associe le gain finalement réalisé par le joueur.
Ainsi, en tenant compte de la mise de 3 €, le tirage d'une boule rouge et d'une boule verte occasionne finalement un gain de 4 €.

a) Déterminer l'ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire $X$ .
b) Démontrer que $P(X = 5) = \frac{2}{25}$ .
c) Présenter en tableau la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ .
d) Quelle est la probabilité que le gain du joueur ne dépasse pas finalement 1 € ?

a) Calculer l'espérance mathématique $E(X)$ de la variable aléatoire $X$ .
b) Le Comité s'aperçoit que son jeu est déficitaire.
Expliquer quelle est, en nombre entier d'euros, la mise minimale qu'il faudrait demander afin de rendre le jeu favorable au Comité.

Dénombrement des tirages possibles à l'aide d'un tableau :
On trouve bien 25 couples de boules possibles.

Bac STI génie mécanique énergétqiue civil 2005 : image 3 a) Valeurs possibles pour la variable aléatoire $X$ :
Si on tire une boule bleue et une boule rouge : $X = 1 + 2 - 3 = 0$
Si on tire une boule bleue et une boule jaune : $X = 1 + 3 - 3 = 1$
Si on tire une boule verte et une boule rouge : $X = 5 + 2 - 3 = 4$
Si on tire une boule verte et une boule jaune : $X = 5 + 3 - 3 = 5$
Donc les valeurs possibles pour $X$ sont ${0 ; 1 ; 4 ; 5}$

b) Sur les 25 tirages possibles, il y a 2 tirages qui permettent de gagner 5 Euros (une boule verte et une boule jaune), donc :
$P(X = 5) = \text{Nombre de cas favorables} / \text{Nombre de cas possibles}$
donc $\boxed{P(X = 5) = \frac{2}{25}}$
c) On procède de la même manière pour calculer les autres probabilités

$\begin{array}{|c|cccc|} \hline x_i & 0 & 1 & 4 & 5 \\ \hline p_i = P(X=x_i) & \frac{12}{25} & \frac{8}{25} & \frac{3}{25} & \frac{2}{25} \\ \hline \end{array}$

d) Pour que le gain ne dépasse pas 1 Euro, il faut gagner 0 ou 1 Euro, donc en appelant $P$ la probabilité correspondante :
$P = \frac{12}{25} + \frac{8}{25} = \frac{20}{25} = \boxed{\frac{4}{5}}$
Donc la probabilité pour que le gain de dépasse pas 1 Euro est de $\frac{4}{5}$ .
a) Calcul de l'espérance mathématique :
$E(X) = p_1 x_1 + p_2 x_2 + p_3 x_3 + p_4 x_4$
$E(X) = \frac{12}{25} \times 0 + \frac{8}{25} \times 1 + \frac{3}{25} \times 4 + \frac{2}{25} \times 5$
$\boxed{E(X) = 1,2}$
b) Le jeu est en effet déficitaire, car un joueur peut espérer gagner en moyenne 1,2 Euros par partie.
Il faut donc augmenter au minimum le prix de participation de 1,2 Euros pour avoir une espérance mathématique nulle (linéarité de l'espérance mathématique).
Donc le prix de participation doit être strictement supérieur à 4,2 Euros.

Énoncé

A l'aide d'un tableau ou d'un arbre, montrer qu'il y a 25 couples de boules possibles.
Une boule rouge fait gagner 2 €.
Une boule jaune fait gagner 3 €.
Une boule bleue fait gagner 1 €.
La boule verte fait gagner 5 €.

a) Calculer l'espérance mathématique $E(X)$ de la variable aléatoire $X$ .
b) Le Comité s'aperçoit que son jeu est déficitaire.
Expliquer quelle est, en nombre entier d'euros, la mise minimale qu'il faudrait demander afin de rendre le jeu favorable au Comité.

Dénombrement des tirages possibles à l'aide d'un tableau :
On trouve bien 25 couples de boules possibles.

b) Sur les 25 tirages possibles, il y a 2 tirages qui permettent de gagner 5 Euros (une boule verte et une boule jaune), donc :
$P(X = 5) = \text{Nombre de cas favorables} / \text{Nombre de cas possibles}$
donc $\boxed{P(X = 5) = \frac{2}{25}}$
c) On procède de la même manière pour calculer les autres probabilités

$\begin{array}{|c|cccc|} \hline x_i & 0 & 1 & 4 & 5 \\ \hline p_i = P(X=x_i) & \frac{12}{25} & \frac{8}{25} & \frac{3}{25} & \frac{2}{25} \\ \hline \end{array}$

d) Pour que le gain ne dépasse pas 1 Euro, il faut gagner 0 ou 1 Euro, donc en appelant $P$ la probabilité correspondante :
$P = \frac{12}{25} + \frac{8}{25} = \frac{20}{25} = \boxed{\frac{4}{5}}$
Donc la probabilité pour que le gain de dépasse pas 1 Euro est de $\frac{4}{5}$ .
a) Calcul de l'espérance mathématique :
$E(X) = p_1 x_1 + p_2 x_2 + p_3 x_3 + p_4 x_4$
$E(X) = \frac{12}{25} \times 0 + \frac{8}{25} \times 1 + \frac{3}{25} \times 4 + \frac{2}{25} \times 5$
$\boxed{E(X) = 1,2}$
b) Le jeu est en effet déficitaire, car un joueur peut espérer gagner en moyenne 1,2 Euros par partie.
Il faut donc augmenter au minimum le prix de participation de 1,2 Euros pour avoir une espérance mathématique nulle (linéarité de l'espérance mathématique).
Donc le prix de participation doit être strictement supérieur à 4,2 Euros.

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