Variable aléatoire : un jeu de dés

Énoncé

Une partie de dé est organisée selon les règles suivantes :
on mise 2 € puis on lance un dé parfaitement équilibré ;
pour la sortie du 6 on reçoit 6 € ;
pour la sortie du 5 on reçoit 2 € ;
pour la sortie du 4 on reçoit 1 €
et dans les autres cas on ne reçoit rien.
On appelle gain d'une partie la différence entre la somme reçue et la mise initiale.

On note $X$ la variable aléatoire qui à l'issue d'une partie associe le gain.
a) Quelles sont les valeurs prises par $X$ ?
b) Établir la loi de probabilité de $X$
c) Déterminer l'espérance mathématique $E(X)$ .
Un joueur se présente il a en poche 2,50 €.
a) Quelles sont les différentes sommes possibles qu'il peut avoir en poche à l'issue d'une partie ?
b) Déterminer la probabilité qu'il puisse jouer deux parties.
c) On suppose qu'il gagne assez à la première partie pour pouvoir jouer une deuxième partie. Quelles sont les différentes sommes possibles qu'il peut avoir en poche à l'issue des deux parties ?

a) On a :

$\left\lbrace\begin{matrix}\text{ Sortie du 6: gain-mise}=6-2=4 \\ \text{ Sortie du 5: gain-mise}=2-2=0 \\ \text{ Sortie du 4: gain-mise}=1-2=-1 \\ \text{ Sortie du 3,2 ou 1: gain-mise}=0-2=-2 \end{matrix}\right.$

On en déduit :
$\boxed{X\in \lbrace -2,-1,0,4\rbrace}$

b) La loi de probabilité de X :
c) L'espérance mathématique E(X) :

$E(X)=-2\times \dfrac{3}{6}-1\times \dfrac{1}{6}+0\times \dfrac{1}{6}+4\times \dfrac{1}{6}$
$E(X)=\dfrac{-6}{6}-\dfrac{1}{6}+\dfrac{4}{6}=-\dfrac{3}{6}=-\dfrac{1}{2}=\boxed{-0,5 \text{ (euros)}}$

a) Le joueur entre en jeu avec 2,50, il mise alors 2 et laisse 0,50 dans sa poche, alors :

$\left\lbrace\begin{matrix}\text{ Sortie du 6 : } 2+4(+0,50)=6,50 \\ \text{ Sortie du 5 : } 2 + 0(+0,50)=2,50 \\ \text{ Sortie du 4 : } 2-1(+0,50)=1,50 \\ \text{ Sortie du 3,2 ou 1 : } 2- 2(+0,50)=0,50 \end{matrix}\right.$

Donc, après une partie, il peut rester au joueur : 6,50 ; 2,50 ; 1,50 ou 0,50 (euros)

b) Le joueur peut jouer une seconde partie seulement dans les deux premiers cas de probabilité (Sortie du 6 et Sortie de 5), dans les autres cas il n'aura pas assez pour miser puisqu'il ne lui restera que 0,50 ou encore 1,50 (la mise est 2).
Donc :
$p=\dfrac{2}{6}\Longrightarrow \boxed{p=\dfrac{1}{3}}$
c)
Cas 1 : Le joueur possède 6,50 après la 1ère partie.
Il mise pour la seconde partie 2 et laisse 4,50 dans sa poche, les résultats possibles :

$\left\lbrace\begin{matrix}\text{ Sortie du 6 : } 2+4(+4.50)=10,50 \\ \text{ Sortie du 5 : }2+0(+4.50)=6,50 \\ \text{ Sortie du 4 : } 2-1(+4,50)=5,50 \\ \text{ Sortie du 3,2 ou 1 : }2-2(+4.50)=4,50 \end{matrix}\right.$

Cas 2 : Le joueur possède 2,50 après la 1ère partie.
Il mise pour la seconde partie 2 et laisse 0,50 dans sa poche, les résultats possibles :

$\left\lbrace\begin{matrix}\text{ Sortie du 6 : } 2+4(+0,50)=6,50 \\ \text{ Sortie du 5 : }2+0(+0,50)=2,50 \\ \text{ Sortie du 4 : } 2-1(+0,50)=1,50 \\ \text{ Sortie du 3,2 ou 1 : }2-2(+0,50)=0,50 \end{matrix}\right.$

Conclusion :
Les sommes possibles après deux parties sont : 10,50 ; 6,50 ; 5,50 ; 4,50 ; 2,50 ; 1,50 ou 0,50 (euros)

Énoncé

On note $X$ la variable aléatoire qui à l'issue d'une partie associe le gain.
a) Quelles sont les valeurs prises par $X$ ?
b) Établir la loi de probabilité de $X$
c) Déterminer l'espérance mathématique $E(X)$ .
Un joueur se présente il a en poche 2,50 €.
a) Quelles sont les différentes sommes possibles qu'il peut avoir en poche à l'issue d'une partie ?
b) Déterminer la probabilité qu'il puisse jouer deux parties.
c) On suppose qu'il gagne assez à la première partie pour pouvoir jouer une deuxième partie. Quelles sont les différentes sommes possibles qu'il peut avoir en poche à l'issue des deux parties ?

a) On a :

On en déduit :
$\boxed{X\in \lbrace -2,-1,0,4\rbrace}$

b) La loi de probabilité de X :
c) L'espérance mathématique E(X) :

$E(X)=-2\times \dfrac{3}{6}-1\times \dfrac{1}{6}+0\times \dfrac{1}{6}+4\times \dfrac{1}{6}$
$E(X)=\dfrac{-6}{6}-\dfrac{1}{6}+\dfrac{4}{6}=-\dfrac{3}{6}=-\dfrac{1}{2}=\boxed{-0,5 \text{ (euros)}}$

a) Le joueur entre en jeu avec 2,50, il mise alors 2 et laisse 0,50 dans sa poche, alors :

Donc, après une partie, il peut rester au joueur : 6,50 ; 2,50 ; 1,50 ou 0,50 (euros)

b) Le joueur peut jouer une seconde partie seulement dans les deux premiers cas de probabilité (Sortie du 6 et Sortie de 5), dans les autres cas il n'aura pas assez pour miser puisqu'il ne lui restera que 0,50 ou encore 1,50 (la mise est 2).
Donc :
$p=\dfrac{2}{6}\Longrightarrow \boxed{p=\dfrac{1}{3}}$
c)
Cas 1 : Le joueur possède 6,50 après la 1ère partie.
Il mise pour la seconde partie 2 et laisse 4,50 dans sa poche, les résultats possibles :

Cas 2 : Le joueur possède 2,50 après la 1ère partie.
Il mise pour la seconde partie 2 et laisse 0,50 dans sa poche, les résultats possibles :

$\left\lbrace\begin{matrix}\text{ Sortie du 6 : } 2+4(+0,50)=6,50 \\ \text{ Sortie du 5 : }2+0(+0,50)=2,50 \\ \text{ Sortie du 4 : } 2-1(+0,50)=1,50 \\ \text{ Sortie du 3,2 ou 1 : }2-2(+0,50)=0,50 \end{matrix}\right.$

Conclusion :
Les sommes possibles après deux parties sont : 10,50 ; 6,50 ; 5,50 ; 4,50 ; 2,50 ; 1,50 ou 0,50 (euros)

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