I. Espérance

Définition : L’espérance de $X$ est le nombre réel :

$E[X] = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i = x_1 p_1 + \dots + x_n p_n$

Remarque : Un jeu est équitable lorsque $E[X] = 0$ .

Propriété : Soit $X$ une variable aléatoire et considérons la variable aléatoire $Y$ définie par : $Y = aX + b \quad \text{où} \quad a, b \in \mathbb{R}$

Alors, $E[Y] = E[aX + b] = a E[X] + b$

On dit que l’espérance est linéaire.

Exemple :

On considère une variable aléatoire $Y$ dont la loi de probabilité est donnée par le tableau suivant.

$y_i$	$-4$	$0$	$4$	$20$
$p(Y = y_i)$	$0,5$	$0,2$	$0,2$	$0,1$

On a :
$E(Y)=0,5×(−4)+0,2×0+0,2×4+0,1×20=0,8$ .

II. Variance

Définition : La variance de $X$ est le nombre réel :

$\text{Var}[X] = \sum_{i=1}^{n} p_i (x_i - E[X])^2$

Elle peut également s'écrire sous la forme : $\text{Var}[X] = \sum_{i=1}^{n} p_i x_i^2 - E[X]^2$

Définition : La variance est un indicateur de la dispersion des valeurs $x_1, \dots, x_n$ autour de l’espérance, souvent notée $\mu$ .

La variance de $X$ est égale à : $\text{Var}[X] = E[(X - \mu)^2] = \sum (x - \mu)^2 p_i$

Dans l’exemple précédent, on a :

$V(Y)=0,5×(−4−0,8)2+0,2×(0−0,8)2+0,2×(4−0,8)2+0,1×(20−0,8)2=50,56.$

Propriété :

Soit $X$ une variable aléatoire et considérons la variable aléatoire $Y$ définie par :

$Y = aX + b \quad \text{où} \quad a, b \in \mathbb{R}$

Alors, la variance vérifie la propriété suivante : $\text{Var}[Y] = \text{Var}[aX + b] = a^2 \text{Var}[X]$

III. Écart-type

Définition : L’écart-type de $X$ est le nombre réel :

$\sigma[X] = \sqrt{\text{Var}[X]}$

Tout comme la variance, il s’agit d’un indicateur de dispersion.