Limites et théorèmes de comparaison

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Tout comme pour les suites, il existe deux théorèmes de comparaisons pour les fonctions. Ils permettent de déterminer la limite d'une fonction à partir d'un encadrement ou d'une majoration/minoration.

Théorème de comparaison :
On considère $f$ et $g$ deux fonctions telles qu'il existe un intervalle de la forme $[A;+\infty[$ sur lequel $f(x)\geqslant g(x)$.

• Si $\lim\limits_{x \to +\infty}g(x)=+\infty$ alors $\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=+\infty$. (théorème de minoration)

• Si $\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=-\infty$ alors $\lim\limits_{x \to +\infty}g(x)=-\infty$. (théorème de majoration)

Cette propriété est également vraie en $-\infty$ ainsi que pour toute limite en un point.

Remarque :
Une fonction impose donc à l'autre sa limite infinie.

Théorème des gendarmes :
On considère $f$, $g$ et $h$ trois fonctions telles qu'il existe un intervalle de la forme $[A;+\infty[$ sur lequel $g(x) \leqslant f(x)\leqslant h(x)$.
S'il existe un réel $\ell$ tel que $\lim\limits_{x \to +\infty}g(x)=\lim\limits_{x \to +\infty}h(x)=\ell$, alors $\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=\ell$.

Exemple :
On considère la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{\cos(x)}{x}$.

Or pour tout réel $x$, $-1 \leqslant \cos(x) \leqslant 1$.
Donc sur $D_f$, $-\dfrac{1}{x} \leqslant f(x) \leqslant \dfrac{1}{x}$.
Or on a $\lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{1}{x}=0$ et $\lim\limits_{x \to +\infty}-\dfrac{1}{x}=0$.

D'après le théorème des gendarmes, on obtient : $\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=0$.

Remarque :
Ici encore, ce théorème n'est pas valable qu'en $+\infty$: son résultat peut être étendu à $-\infty$ et tous les réels.