Fonction définie par une intégrale : parité, continuité et variations

Soit $f$ la fonction numérique à variable réelle définie par
$\left\lbrace\begin{matrix} f(x)=\dfrac{1}{x}\displaystyle\int_{0}^{x}\dfrac{1}{\sqrt{1+t^2}}\,\text dt,\ \text{si }x\neq0\\ f(0)=1 \end{matrix}\right.$.

On note $(C_f)$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormé $(O\,;\,\vec i\,,\,\vec j)$.

Question n°1
Nous devons déterminer le domaine de définition de $f$.

La fonction $f$ est définie pour tout $x$ réel.
Donc le domaine de définition de $f$ est $\R$.

Question n°2
Nous devons montrer que $f$ est paire.

Nous devons donc montrer que pour tout $x\in\R,\quad f(-x)=f(x)$.

Pour tout $x\neq0,\quad f(-x)=\dfrac{1}{-x}\displaystyle\int_0^{-x}\dfrac{1}{\sqrt{1+t^2}}\,\text dt$.

Posons $u=-t$.
Dans ce cas, $\text du=-\text dt$, soit $\text dt=-\text du$.

Analysons les bornes d'intégration.

$\left\lbrace\begin{matrix} t=0\qquad\Longrightarrow\quad u=0\\ t=-x\quad\Longrightarrow\quad u=x \end{matrix}\right.$

Nous obtenons alors :

$\displaystyle\int_0^{-x}\dfrac{1}{\sqrt{1+t^2}},\text dt=\displaystyle\int_0^{x}\dfrac{1}{\sqrt{1+(-u)^2}},(-\text du)$

$\Longrightarrow\quad \displaystyle\int_0^{-x}\dfrac{1}{\sqrt{1+t^2}},\text dt=-\displaystyle\int_0^{x}\dfrac{1}{\sqrt{1+u^2}},\text du$

Nous en déduisons que pour tout $x\neq0$,

$f(-x)=\dfrac{1}{-x}\left(-\displaystyle\int_0^{x}\dfrac{1}{\sqrt{1+u^2}},\text du \right)$

$f(-x)=\dfrac{1}{x}\displaystyle\int_0^{x}\dfrac{1}{\sqrt{1+u^2}},\text du$

$f(-x)=\dfrac{1}{x}\displaystyle\int_0^{x}\dfrac{1}{\sqrt{1+t^2}},\text dt\quad\text{car les variables d'intégration sont muettes }(u\text{ ou }t)$

$f(-x)=f(x)$

$\Longrightarrow\quad \forall,x\in\R^*,\quad f(-x)=f(x)$

Il va de soi que $f(0)=f(-0)=1$.

D'où $\forall,x\in\R,\quad f(-x)=f(x)$.

Par conséquent, la fonction $f$ est paire.

Question n°3 a)

Pour tout $x>0$, nous devons montrer que :

$\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}\leq \displaystyle\int_0^x\dfrac{1}{\sqrt{1+t^2}}\,\text dt\leq x$.

Montrons que pour tout $x>0$,
$\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}\leq \displaystyle\int_0^x\dfrac{1}{\sqrt{1+t^2}},\text dt$.

Soit la fonction $h$ définie sur $[0\,;\,+\infty[$ par
$h(x)=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}-\displaystyle\int_0^x\dfrac{1}{\sqrt{1+t^2}}\,\text dt$.

La fonction $h$ est dérivable sur $[0\,;\,+\infty[$.

Pour tout $x>0$,

$h'(x)=\left(\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right)'-\left(\displaystyle\int_0^x\dfrac{1}{\sqrt{1+t^2}},\text dt\right)'$

Or

$\left(\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right)'=\dfrac{x'\times \sqrt{1+x^2}-x\times(\sqrt{1+x^2})'}{1+x^2}$

$=\dfrac{1\times \sqrt{1+x^2}-x\times\dfrac{2x}{2\sqrt{1+x^2}}}{1+x^2}$

$=\dfrac{\sqrt{1+x^2}-\dfrac{x^2}{\sqrt{1+x^2}}}{1+x^2}$

$=\dfrac{\dfrac{1+x^2-x^2}{\sqrt{1+x^2}}}{1+x^2}$

$=\dfrac{1}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}}$

et

$\left(\displaystyle\int_0^x\dfrac{1}{\sqrt{1+t^2}}\,\text dt\right)'=\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}$

Nous obtenons ainsi :

$h'(x)=\dfrac{1}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}}-\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}$

$=\dfrac{1-(1+x^2)}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}}$

$=\dfrac{-x^2}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}}$

Donc pour tout $x>0$,

$\left\lbrace\begin{matrix} -x^2<0\\ (1+x^2)\sqrt{1+x^2}>0 \end{matrix}\right.$

$\Longrightarrow\quad h'(x)<0$

La fonction $h$ est donc décroissante sur $]0\,;\,+\infty[$.

Or $h(0)=0$.

Donc la fonction $h$ est négative sur $[0\,;\,+\infty[$.

Par conséquent, pour tout $x>0$,

$\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}-\displaystyle\int_0^x\dfrac{1}{\sqrt{1+t^2}}\,\text dt\leq0$

soit

$\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}\leq \displaystyle\int_0^x\dfrac{1}{\sqrt{1+t^2}}\,\text dt$.

Montrons maintenant que

$\displaystyle\int_0^x\dfrac{1}{\sqrt{1+t^2}},\text dt\leq x$.

Pour tout $x>0$, pour tout $t\in[0\,;\,x]$,

$t^2\geq0$

$\Longrightarrow\quad 1+t^2\geq1$

$\Longrightarrow\quad \sqrt{1+t^2}\geq1$

$\Longrightarrow\quad \dfrac{1}{\sqrt{1+t^2}}\leq1$

$\Longrightarrow\quad \displaystyle\int_0^x\dfrac{1}{\sqrt{1+t^2}}\,\text dt\leq\displaystyle\int_0^x1\,\text dt$

$\Longrightarrow\quad \displaystyle\int_0^x\dfrac{1}{\sqrt{1+t^2}}\,\text dt\leq[t]_0^x$

$\Longrightarrow\quad \displaystyle\int_0^x\dfrac{1}{\sqrt{1+t^2}}\,\text dt\leq x$

Par conséquent,

$\forall,x>0,\quad\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}\leq \displaystyle\int_0^x\dfrac{1}{\sqrt{1+t^2}}\,\text dt\leq x$.

Question n°3 b)

Montrons que $f$ est continue en $0$.

En utilisant la question 3 a),

$\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}\leq \displaystyle\int_0^x\dfrac{1}{\sqrt{1+t^2}}\,\text dt\leq x$

$\Longrightarrow\quad\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}\leq\dfrac{1}{x}\displaystyle\int_0^x\dfrac{1}{\sqrt{1+t^2}}\,\text dt\leq1$

Donc

$\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}=1$

$\Longrightarrow\quad 1\leq \lim\limits_{x\to0^+}f(x)\leq1$

$\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to0^+}f(x)=1$

Comme $f$ est paire,

$\lim\limits_{x\to0^-}f(x)=1$

Donc

$\lim\limits_{x\to0}f(x)=1$

Or $f(0)=1$.

Ainsi

$\lim\limits_{x\to0}f(x)=f(0)$.

Par conséquent, la fonction $f$ est continue en $0$.

Question n°4

Nous devons montrer que

$\forall\,t\geq1,\quad\dfrac{1}{\sqrt{1+t^2}}<\dfrac{1}{\sqrt t}$.

En effet,

$t\geq1$

$\Longrightarrow\quad t^2\geq t$

$\Longrightarrow\quad 1+t^2>t$

$\Longrightarrow\quad \sqrt{1+t^2}>\sqrt t$

$\Longrightarrow\quad \dfrac{1}{\sqrt{1+t^2}}<\dfrac{1}{\sqrt t}$.

Nous en déduisons

$\forall,x>0,\quad f(x)<\dfrac{2}{\sqrt x}$.

De plus, pour tout $x>0$, $f(x)>0$.

Donc

$0<f(x)<\dfrac{2}{\sqrt x}$.

Or

$\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{2}{\sqrt x}=0$.

Par le théorème des gendarmes,

$\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0$.

Question n°5

La fonction $f$ est dérivable sur $\R^*$.

Pour tout $x\in\R^*$,

$f'(x)=\left(\dfrac{\displaystyle\int_0^x\dfrac{1}{\sqrt{1+t^2}},\text dt}{x}\right)'$

$=\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}\times x-\displaystyle\int_0^x\dfrac{1}{\sqrt{1+t^2}},\text dt}{x^2}$

Le signe de $f'(x)$ est celui du numérateur.

Or pour tout $x>0$,

$\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}-\displaystyle\int_0^x\dfrac{1}{\sqrt{1+t^2}},\text dt\leq0$.

Donc pour tout $x>0$, $f'(x)\leq0$.

Ainsi la fonction $f$ est décroissante sur $]0\,;\,+\infty[$.

Comme $f$ est paire, elle est croissante sur $]-\infty\,;\,0[$.

Calcul préliminaire :

$\left\lbrace\begin{matrix} \lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0\\ f\text{ est paire} \end{matrix}\right.$

$\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=0$

Tableau de variations :

$\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x & -\infty & & 0 & & +\infty\\ \hline f'(x) & & + & 0 & - & \\ \hline f(x) & 0 & \nearrow & 1 & \searrow & 0\\ \hline \end{array}$

Question n°6

Nous devons tracer la courbe $(C_f)$.