Trigonométrie (1)

Exercice 1

1. On sait que $\cos^2 x+\sin^2 x=1$ pour tout réel $x$.
   Ainsi, $\cos^2 x=1-\sin^2 x$.
   Donc : $\cos^2 x=1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^2=\dfrac{8}{9}$ soit $\cos x=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$ ou $\cos x=-\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$.
   On ne peut pas en savoir plus.

2. Sachant que $x\in\left[\dfrac{\pi}{2};\pi\right]$, alors $-1\leq\cos x\leq 0$.
   Donc d’après ce qui précède on peut écrire : $\cos x=-\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$.
   Puis $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}=-\dfrac{1}{2\sqrt{2}}=-\dfrac{\sqrt{2}}{4}$.

Exercice 2

On commence par déterminer la mesure principale de l’angle, c’est-à-dire la mesure comprise dans $]-\pi;\pi]$.

1. $\dfrac{65\pi}{4}=\dfrac{8\times8\pi+\pi}{4}=8\times2\pi+\dfrac{\pi}{4}$.

$\dfrac{\pi}{4}$ est la mesure principale de l’angle $\dfrac{65\pi}{4}$.

Comme pour tout entier relatif $k$ ; $\cos(x+2k\pi)=\cos(x)$.

On obtient : $\cos\left(\dfrac{65\pi}{4}\right)=\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

2. Procédons de même.

$-\dfrac{39\pi}{4}=-\dfrac{40\pi}{4}+\dfrac{\pi}{4}=-10\pi+\dfrac{\pi}{4}=-5\times2\pi+\dfrac{\pi}{4}$.

$\dfrac{\pi}{4}$ est la mesure principale de l’angle $-\dfrac{39\pi}{4}$.

Par conséquent : $\sin\left(-\dfrac{39\pi}{4}\right)=\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

Exercice 3

$\cos(-x)=\cos(x)$ ; $\cos(x+\pi/2)=-\sin(x)$ ; $\cos(x+\pi)=-\cos(x)$ ; $\cos(x+2\pi)=\cos(x)$ ; $\cos(\pi-x)=-\cos(x)$ ; $\cos(\pi/2-x)=\sin(x)$.

Calculons $\sin\left(\dfrac{\pi}{8}\right)$ :
$\sin^2\left(\dfrac{\pi}{8}\right)=\dfrac{2-\sqrt{2}}{4}$ et $\sin\left(\dfrac{\pi}{8}\right)>0$ donc :
$\sin\left(\dfrac{\pi}{8}\right)=\dfrac{1}{2}\sqrt{2-\sqrt{2}}$.

$\cos\left(-\dfrac{\pi}{8}\right)=\cos\left(\dfrac{\pi}{8}\right)=\dfrac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2}}$.

$\cos\left(\dfrac{3\pi}{8}\right)=\cos\left(\dfrac{4\pi-\pi}{8}\right)=\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{8}\right)=\sin\left(\dfrac{\pi}{8}\right)=\dfrac{1}{2}\sqrt{2-\sqrt{2}}$.

$\cos\left(\dfrac{5\pi}{8}\right)=\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{8}\right)=-\sin\left(\dfrac{\pi}{8}\right)=-\dfrac{1}{2}\sqrt{2-\sqrt{2}}$.

$\cos\left(\dfrac{9\pi}{8}\right)=\cos\left(\pi+\dfrac{\pi}{8}\right)=-\cos\left(\dfrac{\pi}{8}\right)=-\dfrac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2}}$.

$\cos\left(\dfrac{-325\pi}{8}\right)=\cos\left(\dfrac{325\pi}{8}\right)$ et
$\cos\left(\dfrac{325\pi}{8}\right)=\cos\left(20\times(2\pi)+\dfrac{5\pi}{8}\right)=\cos\left(\dfrac{5\pi}{8}\right)=-\dfrac{1}{2}\sqrt{2-\sqrt{2}}$.