Réduction d’angles et calcul de sin et cos grâce à modulo 2pi

Exercice 1

On utilise la périodicité : $\cos(x+2\pi)=\cos x$.
On réduit $\dfrac{59\pi}{6}$ modulo $2\pi$ ou encore modulo $\dfrac{12\pi}{6}$ :

$\dfrac{59\pi}{6}=\dfrac{48\pi}{6}+\dfrac{11\pi}{6}=8\pi+\dfrac{11\pi}{6}$.

Donc $\cos\left(\dfrac{59\pi}{6}\right)=\cos\left(\dfrac{11\pi}{6}\right)$.
Or $\dfrac{11\pi}{6}=2\pi-\dfrac{\pi}{6}$, donc
$\cos\left(\dfrac{11\pi}{6}\right)=\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

Exercice 2

On réduit d’abord l’angle puis on utilise $\sin(-x)=-\sin x$.
$\sin\left(-\dfrac{73\pi}{4}\right)=-\sin\left(\dfrac{73\pi}{4}\right)$.
On réduit $\dfrac{73\pi}{4}$ modulo $2\pi=\dfrac{8\pi}{4}$ :
$\dfrac{73\pi}{4}=\dfrac{72\pi}{4}+\dfrac{\pi}{4}=18\pi+\dfrac{\pi}{4}$.

Donc $\sin\left(\dfrac{73\pi}{4}\right)=\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
Ainsi $\sin\left(-\dfrac{73\pi}{4}\right)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

Exercice 3

$\cos(-x)=\cos x$, donc
$\cos\left(-\dfrac{101\pi}{3}\right)=\cos\left(\dfrac{101\pi}{3}\right)$.
On réduit modulo $2\pi=\dfrac{6\pi}{3}$ :
$\dfrac{101\pi}{3}=\dfrac{96\pi}{3}+\dfrac{5\pi}{3}=32\pi+\dfrac{5\pi}{3}$.

Donc $\cos\left(\dfrac{101\pi}{3}\right)=\cos\left(\dfrac{5\pi}{3}\right)$.
Or $\dfrac{5\pi}{3}=2\pi-\dfrac{\pi}{3}$, donc $\cos\left(\dfrac{5\pi}{3}\right)=\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}$.

Exercice 4

On réduit modulo $2\pi$. Ici c’est un multiple de $\dfrac{\pi}{2}$.
$\dfrac{125\pi}{2}=\dfrac{124\pi}{2}+\dfrac{\pi}{2}=62\pi+\dfrac{\pi}{2}$.
Donc $\sin\left(\dfrac{125\pi}{2}\right)=\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1$.

Exercice 5

On réduit modulo $2\pi=\dfrac{8\pi}{4}$.
$\dfrac{143\pi}{4}=\dfrac{136\pi}{4}+\dfrac{7\pi}{4}=34\pi+\dfrac{7\pi}{4}$.

Donc $\cos\left(\dfrac{143\pi}{4}\right)=\cos\left(\dfrac{7\pi}{4}\right)$.
Or $\dfrac{7\pi}{4}=2\pi-\dfrac{\pi}{4}$, donc $\cos\left(\dfrac{7\pi}{4}\right)=\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.