Cosinus et sinus d'un angle

I. Définitions

Soit $\mathcal{C}$ le cercle trigonométrique et $x$ une mesure de l’arc $IM$.

• $\cos x$ est l’abscisse du point $M$ dans le repère $(O ; \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ})$.

• $\sin x$ est l’ordonnée du point $M$ dans le repère $(O ; \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ})$.

Propriétés

$\circ\quad$ Pour tout réel $x$, $-1 \leq \cos x \leq 1$.

$\circ\quad$ Pour tout réel $x$, $-1 \leq \sin x \leq 1$.

$\circ\quad$ Pour tout réel $x$, $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$.

II. Valeurs remarquables

III. Mesure principale d'un angle

Définition :

La mesure principale d'un angle orienté est l'unique mesure qui est comprise dans l'intervalle $]-\pi~,~\pi]$ . Elle est donc lisible directement sur le cercle trigonométrique.

III. Un exemple de démonstration

Soit à calculer les valeurs de $\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$ et $\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$.

Soit le triangle équilatéral $ABC$ de côté 1 et soit $H$ le pied de la hauteur issue de $A$.

D’après les propriétés d’un triangle équilatéral, $H$ est le milieu de $[BC]$.

D’après le théorème de Pythagore, on a :

$AH^2 = AB^2 - BH^2$

$AH^2= 1^2 - \left(\dfrac{1}{2}\right)^2$

$AH^2= 1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}$

$AH = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

On en déduit :

$\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{AH}{AB} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et que $\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{BH}{AB} = \dfrac{1}{2}$.