Équation trigonométrique : cos(x)=cos(a)

Remarque importante : Pour ce type d'équations, il ne faut pas oublier l'ensemble dans lequel les solutions sont demandées.

Équation cosinus dans $\mathbf{R}$

Théorème :
$\cos U = \cos V$ équivaut à dire :
$U=V+k2\pi$ ou $U=-V+k'2\pi$ avec $k$ et $k'$ dans $\mathbf{Z}$

Afin de mémoriser ce résultat, il est judicieux de comprendre et de visualiser sur la figure ce que signifie cette égalité de cosinus.

Exercice 1

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation d'inconnue $x$, $\cos(2x)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 1 : Identifier une valeur dont le cosinus est $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Le cosinus se lit sur l'axe des abscisses. On sait que $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ est le cosinus de $\dfrac{\pi}{6}$.

Étape 2 : Reformuler l'équation sous la forme $\cos U = \cos V$

L'équation proposée revient donc à écrire :
$x\in \mathbb{R}, \quad \cos(2x)=\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)$
On applique alors la propriété rappelée ci-dessus :
$\cos(2x)=\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right) \Longleftrightarrow 2x=\dfrac{\pi}{6}+k2\pi$ ou $2x = -\dfrac{\pi}{6}+k'2\pi$ avec $k, k' \in \mathbf{Z}$

Étape 3 : Terminer les calculs si besoin

On divise par 2 chaque membre de chaque égalité :
$x=\dfrac{\pi}{12}+k\pi$ ou $x = -\dfrac{\pi}{12}+k'\pi$ avec $k, k' \in \mathbf{Z}$

Étape 4 : Conclusion

L'énoncé demandait les solutions dans $\mathbb{R}$. L'ensemble solution est donc :

$S=\left\lbrace \dfrac{\pi}{12}+k\pi \;, -\dfrac{\pi}{12}+k'\pi \;, (k , k')\in \mathbf{Z}^2\right\rbrace$