Symétries, angles associés et calcul de tan et cotan

Exercice 1

On utilise les identités usuelles qu'il est facile de retrouver sur le cercle trigonométrique :
$\cos(-x)=\cos x$
$\cos(\pi-x)=-\cos x$
$\cos(\pi+x)=-\cos x$
$\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\sin x$.

On sait $\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right)=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$.

a) $\cos\left(-\dfrac{\pi}{12}\right)=\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right)=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$.

b) $\dfrac{11\pi}{12}=\pi-\dfrac{\pi}{12}$, donc
$\cos\left(\dfrac{11\pi}{12}\right)=\cos\left(\pi-\dfrac{\pi}{12}\right)=-\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right)=-\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$.

c) $\dfrac{13\pi}{12}=\pi+\dfrac{\pi}{12}$, donc
$\cos\left(\dfrac{13\pi}{12}\right)=\cos\left(\pi+\dfrac{\pi}{12}\right)=-\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right)=-\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$.

d) $\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{5\pi}{12}$, et
$\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{12}\right)=\sin\left(\dfrac{\pi}{12}\right)$.
Donc le résultat vaut $\sin\left(\dfrac{\pi}{12}\right)$ (tu le connais dans l’exercice (2)).

Exercice 2

On utilise :
$\sin(-x)=-\sin x$
$\sin(\pi-x)=\sin x$
$\sin(x+2\pi)=\sin x$
$\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\cos x$.

On sait $\sin\left(\dfrac{\pi}{12}\right)=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$.

a) $\sin\left(-\dfrac{\pi}{12}\right)=-\sin\left(\dfrac{\pi}{12}\right)=-\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$.

b) $\dfrac{5\pi}{12}=\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{12}$, donc
$\sin\left(\dfrac{5\pi}{12}\right)=\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{12}\right)=\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right)=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$.

c) $\sin\left(\pi-\dfrac{\pi}{12}\right)=\sin\left(\dfrac{\pi}{12}\right)=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$.

d) $\sin\left(2\pi+\dfrac{\pi}{12}\right)=\sin\left(\dfrac{\pi}{12}\right)=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$.

Exercice 3

On applique les définitions données dans l’énoncé.

a)
$\tan\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)}{\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)}=\dfrac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
$\text{cotan }\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)}{\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)}=\dfrac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}$.

b) $\dfrac{7\pi}{6}=\pi+\dfrac{\pi}{6}$. En 3e cadran, $\sin$ et $\cos$ sont négatifs, donc leur quotient est positif.

On peut écrire : $\tan\left(\pi+\dfrac{\pi}{6}\right)=\tan\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.

c) $\dfrac{5\pi}{6}=\pi-\dfrac{\pi}{6}$. En 2e cadran, $\sin$ est positif et $\cos$ est négatif, donc
$\text{cotan }\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)=\dfrac{\cos\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)}{\sin\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)}$ est négatif.
Or $\sin\left(\pi-\dfrac{\pi}{6}\right)=\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{2}$ et
$\cos\left(\pi-\dfrac{\pi}{6}\right)=-\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

Donc $\text{cotan }\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)=\dfrac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}=-\sqrt{3}$.