Triangles semblables et triangles rectangles (2)

👉 Travaille toujours avec la figure sous les yeux.

Données utiles lues sur la figure : $CB=7{,}5\ \text{cm}$, $CD=8{,}5\ \text{cm}$, $BF=6\ \text{cm}$, $EF=3{,}2\ \text{cm}$, $BE=6{,}8\ \text{cm}$, les points $C,B,E$ sont alignés, le triangle $CBD$ est rectangle en $B$, le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ et on lit $\widehat{ACB}=61^\circ$.

1. Montrer que $BD=4\ \text{cm}$

Dans le triangle $CBD$ rectangle en $B$, le théorème de Pythagore donne
$CD^2=CB^2+BD^2$.
Ainsi $BD^2=CD^2-CB^2=8{,}5^2-7{,}5^2=72{,}25-56{,}25=16$, donc $BD=4\ \text{cm}$ (longueur positive).

👉 Conseil méthode : dès que l’angle droit est indiqué, pense immédiatement à écrire Pythagore avec l’hypoténuse au carré égale à la somme des carrés des deux autres côtés.

2. Montrer que les triangles $CBD$ et $BFE$ sont semblables

On compare les longueurs correspondantes :
$\dfrac{CB}{BF}=\dfrac{7{,}5}{6}=1{,}25$, $\dfrac{BD}{EF}=\dfrac{4}{3{,}2}=1{,}25$, $\dfrac{CD}{BE}=\dfrac{8{,}5}{6{,}8}=1{,}25$.

Les trois rapports de côtés sont égaux : les triangles $CBD$ et $BFE$ sont donc semblables (critère côté–côté–côté), avec un rapport d’agrandissement $k=1{,}25$ de $BFE$ vers $CBD$. L’angle droit en $F$ correspond à l’angle droit en $B$.

👉 Astuce : si tu connais trois longueurs de chaque triangle, cherche tout de suite si les rapports sont constants.

3. Sophie affirme que l’angle $\widehat{BFE}$ est droit. A-t-elle raison ?

On vérifie la réciproque de Pythagore dans $BFE$ :
$BF^2+EF^2=6^2+3{,}2^2=36+10{,}24=46{,}24$ et $BE^2=6{,}8^2=46{,}24$.
On a bien $BF^2+EF^2=BE^2$, donc le triangle $BFE$ est rectangle en $F$. Ainsi $\widehat{BFE}=90^\circ$ : Sophie a raison.

👉 Réflexe : quand trois longueurs sont données, teste la réciproque de Pythagore pour conclure à un angle droit.

4. Max affirme que l’angle $\widehat{ACD}$ est droit. A-t-il raison ?

Les demi-droites $[CB)$ et $[CE)$ sont confondues (points $C,B,E$ alignés). L’angle recherché s’écrit
$\widehat{ACD}=\widehat{ACB}+\widehat{BCD}$.

On connaît $\widehat{ACB}=61^\circ$. Dans le triangle rectangle $CBD$, on calcule l’angle en $C$ :
$\tan(\widehat{BCD})=\dfrac{BD}{CB}=\dfrac{4}{7{,}5}=\dfrac{8}{15}\approx0{,}533$.
Donc $\widehat{BCD}\approx28{,}07^\circ$.

Alors $\widehat{ACD}\approx61^\circ+28{,}07^\circ\approx89{,}07^\circ$, ce qui n’est pas $90^\circ$. Max n’a pas raison : l’angle $\widehat{ACD}$ n’est pas un angle droit (il est très proche de l’angle droit, mais pas exact).

👉 Attention : « presque 90° » ne suffit pas pour conclure à un angle droit. Il faut une égalité exacte.