Triangles semblables et triangles rectangles (1)

Exercice 1

Question 1 : « Calculer la largeur $AC$ de ce réfrigérateur. »

On lit sur la figure que $AD = 30~cm$ et $DC = 16~cm$, avec un angle droit en $D$.

Donc le triangle $ADC$ est rectangle en $D$.

Par le théorème de Pythagore dans le triangle $ADC$ :
$AC^2 = AD^2 + DC^2$

$AC^2 = 30^2 + 16^2$
$AC^2 = 900 + 256$
$AC^2 = 1156$

Donc :
$AC = \sqrt{1156} = 34$

La largeur du réfrigérateur est donc $AC = 34~cm$.

👉 Petit conseil : dès que tu vois un petit carré (angle droit), pense « Pythagore » pour relier les 3 longueurs du triangle rectangle.

Question 2 : « Démontrer que les triangles $ABE$ et $CAD$ sont semblables. »

On veut comparer les triangles $ABE$ et $CAD$.

1. On repère un angle droit dans chaque triangle :
   Dans le triangle $ABE$, on voit que $AE \perp EB$, donc $\widehat{AEB} = 90^\circ$.
   Dans le triangle $CAD$, on voit que $AD \perp DC$, donc $\widehat{ADC} = 90^\circ$.

Ainsi :
$\widehat{AEB} = \widehat{ADC}$

2. On repère un deuxième angle égal :
   Sur la figure, l’angle $\widehat{BAE}$ (en rouge) auquel on ajoute l'angle $\widehat{CAD}$ (en bleu) donne une somme de $90^°$.

   Dans le triangle $EAB$, l’angle $\widehat{BAE}$ (en rouge) auquel on ajoute l'angle l’angle $\widehat{EBA}$ (en bleu) donné également une somme de $90^°$.

Donc les angles $\widehat{BAE}$ et $\widehat{ACD}$ sont égaux : $\widehat{BAE} = \widehat{ACD}$

On a donc deux angles égaux dans les deux triangles, donc les triangles sont semblables :
Les triangles $ABE$ et $CAD$ sont semblables.

👉 Petit conseil : pour prouver une similitude, cherche en priorité : un angle droit + un autre angle égal (souvent grâce aux parallèles ou aux perpendiculaires).

Question 3 : « Déterminer la hauteur $AB$ du réfrigérateur. »

Puisque les triangles $ABE$ et $CAD$ sont semblables, on peut écrire une égalité de rapports entre côtés correspondants.

Avec la correspondance des angles trouvée :
$E \leftrightarrow D$ (angles droits),
$A \leftrightarrow C$,
$B \leftrightarrow A$.

Donc les côtés correspondants sont :
$AE \leftrightarrow CD$,
$AB \leftrightarrow CA$,
$BE \leftrightarrow AD$.

On calcule le rapport d’agrandissement :
$\dfrac{AE}{CD} = \dfrac{80}{16} = 5$

Alors :
$\dfrac{AB}{CA} = 5$

Donc :
$AB = 5 \times CA = 5 \times 34 = 170$

La hauteur du réfrigérateur est donc $AB = 170~cm$.

👉 Petit conseil : une fois la similitude prouvée, écris toujours les correspondances (qui va avec qui) avant de faire les rapports, sinon on se trompe vite de côtés.

Question 4 : « Déterminer le coefficient de réduction qui permet de passer du triangle $ABE$ au triangle $ACD$. »

Passer de $ABE$ (grand triangle) à $ACD$ (petit triangle), c’est une réduction.

Le coefficient de réduction est donc :
$k = \dfrac{\text{longueur dans }ACD}{\text{longueur correspondante dans }ABE}$

Par exemple avec $CD \leftrightarrow AE$ :
$k = \dfrac{CD}{AE} = \dfrac{16}{80} = \dfrac{1}{5}$

Le coefficient de réduction est donc $k = \dfrac{1}{5}$.

👉 Petit conseil : « réduction » = coefficient inférieur à $1$ ; si tu trouves un nombre supérieur à $1$, c’est que tu as pris le rapport dans le mauvais sens.

Exercice 2

En regardant les angles, on a $\widehat{E}=\widehat{A}$ et $\widehat{F}=\widehat{C}$.

Donc les triangles $ABC$ et $DEF$ sont semblables.

👉 Petit conseil : Si l’on écrit le premier triangle sur une ligne $A~B~C$ et en dessous les points correspondants $E~D~F$,

$\dfrac{A~B~C}{E~D~F}$

on peut alors écrire :

$\dfrac{AB}{ED}=\dfrac{AC}{EF}=\dfrac{BC}{DF}=\dfrac{5}{2.5}=2$

On en déduit

$AB=2ED \quad AC=2EF \quad BC=2DF$

d’où les résultats : $ED=5$ cm et $DF=6$ cm.