Triangles égaux, triangles semblables (1)

Exercice 1

👉 Travaille toujours avec la figure sous les yeux.

Dans le triangle $ABC$, les angles $A$ et $C$ ont même mesure 50°. Le triangle est donc isocèle en $B$.
Dans le triangle $EFG$, les côtés $[FE]$ et $[FG]$ ont même mesure. Le triangle $EFG$ est donc isocèle en $F$ et les deux angles de base valent 50°.
La base $[AB]$ et la base $[EG]$ont même mesure $7$ cm.
Les deux triangles $ABC$ et $EFG$ ont un côté de même mesure compris entre deux angles respectivement égaux deux à deux, les deux triangles sont donc égaux.

Exercice 2

1. Dans le triangle $IML$, je sais que $IL = 36$, $IM = 12$, $ML = 30$.
   Dans le triangle $LKM$, je sais que $ML = 30$, $MK = 10$, $KL = 25$.
   La seule solution pour que ces deux triangles soient semblables est que :

$\checkmark\quad$ les deux plus grands côtés soient homologues, soit $[IL]$ et $[ML]$
$\checkmark\quad$ les deux plus petits côtés soient homologues, soit $[IM]$ et $[MK]$
$\checkmark\quad$ et donc que $[ML]$ soit homologue avec $[KL]$

Vérifions s’il y a proportionnalité :

$\dfrac{IL}{ML} = \dfrac{36}{30} = 1{,}2 \qquad \dfrac{ML}{KL} = \dfrac{30}{25} = 1{,}2 \qquad \dfrac{IM}{MK} = \dfrac{12}{10} = 1{,}2$

Les mesures des côtés sont proportionnelles, les triangles sont donc semblables.

2. Les angles homologues sont :
   $\checkmark\quad \widehat{IML}$ et $\widehat{MKL}$ en face de $[IL]$ dans $IML$ et de $[ML]$ dans $LKM$
   $\checkmark\quad \widehat{MIL}$ et $\widehat{KML}$ en face de $[ML]$ dans $IML$ et de $[KL]$ dans $LKM$
   $\checkmark\quad \widehat{ILM}$ et $\widehat{MLK}$ en face de $[IM]$ dans $IML$ et de $[MK]$ dans $LKM$

Exercice 3

En regardant les angles, on a $\widehat{E}=\widehat{A}$ et $\widehat{F}=\widehat{C}$.

Donc les triangles $ABC$ et $DEF$ sont semblables.

👉 Petit conseil : Si l’on écrit le premier triangle sur une ligne $A~B~C$ et en dessous les points correspondants $E~D~F$,

$\dfrac{A~B~C}{E~D~F}$

on peut alors écrire :

$\dfrac{AB}{ED}=\dfrac{AC}{EF}=\dfrac{BC}{DF}=\dfrac{5}{2.5}=2$

On en déduit

$AB=2ED \quad AC=2EF \quad BC=2DF$

d’où les résultats : $ED=5$ cm et $DF=6$ cm.