Triangle et carré : construction et étude des angles

1. « Construis un triangle $ABC$ tel que $AB=4~cm$, $\widehat{BAC}=92^\circ$ et $\widehat{ABC}=58^\circ$. »

Étape 1 : tracer la base.
Tu traces le segment $[AB]$ de longueur $AB=4~cm$.
👉 Conseil : marque bien $4~$cm avec ton double-décimètre puis repasse le segment pour qu’il soit net.

Étape 2 : placer l’angle en $A$.
Au point $A$, tu places ton rapporteur sur la demi-droite $[AB)$ et tu construis la demi-droite $[AC)$ telle que $\widehat{BAC}=92^\circ$.
👉 Conseil : $92^\circ$ est un peu plus grand que $90^\circ$ : vérifie que ta demi-droite “dépasse” bien la perpendiculaire à $AB$.

Étape 3 : placer l’angle en $B$.
Au point $B$, tu places le rapporteur sur la demi-droite $(AB]$ et tu construis la demi-droite $[BC)$ telle que $\widehat{ABC}=58^\circ$.
👉 Conseil : fais attention à lire la bonne graduation (celle qui démarre à $0^\circ$ sur $[BA)$).

Étape 4 : obtenir le point $C$.

Le point $C$ est l’intersection des deux demi-droites tracées (celle issue de $A$ et celle issue de $B$). Tu relies $A$ à $C$ et $B$ à $C$ : le triangle $ABC$ est construit.

2. « Construire les points $E$ et $F$ à l’extérieur du triangle $ABC$ tels que le quadrilatère $AEFB$ soit un carré. »

👉 Attention à l’ordre des ponts sur ta figure, je te conseille de faire un croquis à main levée pour ne pas te tromper de sens pour le nom du carré !

Étape 1 : rappeler ce qu’est un carré.
Dans un carré, les côtés consécutifs sont perpendiculaires et de même longueur :
$AE \perp AB$, $BF \perp AB$ et $AE=AB=BF$.

Étape 2 : construire $E$ à partir de $A$.
Tu traces la perpendiculaire à $(AB)$ passant par $A$, du côté “extérieur” au triangle (pour que le carré soit à l’extérieur).
Sur cette perpendiculaire, tu places $E$ tel que $AE=4~$cm.
👉 Conseil : pour être sûr que $AE=4~$cm, utilise le compas ouvert à la longueur $AB$.

Étape 3 : construire $F$ à partir de $B$.
Tu traces la perpendiculaire à $(AB)$ passant par $B$, du même côté que $E$.
Sur cette perpendiculaire, tu places $F$ tel que $BF=4~$cm.
👉 Conseil : garde la même ouverture de compas (celle de $AB$), comme ça tu es certain que $AE=BF=AB$.

Étape 4 : fermer le carré.
Tu relies $E$ à $F$. Alors $AEFB$ est bien un carré.

3. a) « Calculer la mesure de l’angle $\widehat{FBC}$. »

On sait que, dans le carré, $BF \perp AB$, donc $\widehat{FBA}=90^\circ$.
On sait aussi que $\widehat{ABC}=58^\circ$ (donné).

À $B$, l’angle $\widehat{FBC}$ est l’angle entre la demi-droite $[BF)$ et la demi-droite $[BC)$.
Or l’angle entre $[BA)$ et $[BC)$ vaut $58^\circ$, et l’angle entre $[BA)$ et $[BF)$ vaut $90^\circ$ mais de l’autre côté : l’angle $\widehat{FBC}$ est donc obtus.

Calcul :
$\widehat{FBC}=90^\circ+58^\circ=148^\circ$.

3. b) « Tracer la bissectrice de l’angle $\widehat{FBC}$. »

Une bissectrice partage un angle en deux angles égaux. Ici :
$\widehat{FBC}=148^\circ$ donc chaque moitié vaut $\dfrac{148^\circ}{2}=74^\circ$.

👉 Tu traces la bissectrice au compas, c'est la méthode la plus précise.

4. « Les points $E$, $A$ et $C$ sont-ils alignés ? Justifier la réponse. »

Pour que $E$, $A$ et $C$ soient alignés, il faudrait que les droites $(AE)$ et $(AC)$ soient la même droite (donc que l’angle $\widehat{EAC}$ soit égal à $180^\circ$).

Or :
Dans le carré, $AE \perp AB$, donc $\widehat{EAB}=90^\circ$.
Dans le triangle, $\widehat{BAC}=92^\circ$.

Donc l’angle entre $(AE)$ et $(AC)$ vaut : $\widehat{EAC}=92^\circ+90^\circ=182^\circ$.

Donc les points $E$, $A$ et $C$ ne sont pas alignés.
👉 Conseil : dès que tu vois “carré”, pense “angle droit” : c’est souvent la clé pour justifier un non-alignement.

5. « La demi-droite $[CF)$ est-elle la bissectrice de l’angle $\widehat{ACB}$ ? Justifie »

Tu traces la demi-droite $[CF)$.

👉 Conseil :

1^re méthode : tu prends ton rapporteur et tu mesures les angles $\widehat{ECF}$ et $\widehat{FCB}$.

2^e méthode (à privilégier) : tu prends ton compas et tu traces la bissectrice de l’angle $\widehat{ACB}$

Ou bien la bissectrice est confondue avec la demi-droite $[CF)$, ou bien tu vois un écart et alors $[CF)$ n'est pas la bissectrice. Ici, on voit que les deux demi-droites ne sont pas superposées.

Conclusion : la demi-droite $[CF)$ n'est pas la bissectrice de l'angle $\widehat{ACB}$.