Théorème de Pythagore et racine carrée

👉 Conseils

$\checkmark$ Commence toujours ton exercice en faisant un dessin à main levée,

$\checkmark$ As-tu bien codé ta figure ?

$\checkmark$ As-tu bien noté toutes les dimensions connues sur ta figure ?

Exercice $1$ : Trapèze rectangle et diagonale

Données :

$\circ$ $AB = 8$cm, $CD = 4$cm, $AD = 6$cm
$\circ$ Les angles $\widehat{A}$ et $\widehat{D}$ sont droits
$\circ$ On veut déterminer $AC$

$1.$ Justification que $ADC$ est un triangle rectangle

Le trapèze $ABCD$ a deux angles droits : $\widehat{A}$ et $\widehat{D}$.

Cela implique que les côtés $[AD]$ et $[BC]$ sont perpendiculaires aux bases $[AB]$ et $[CD]$.

Dans le triangle $ADC$, l’angle $\widehat{D}$ est droit, donc le triangle $ADC$ est rectangle en $D$.

$2.$ Calcul de la diagonale $AC$

Dans le triangle rectangle $ADC$ rectangle en $D$ :

$\circ$ $AD = 6$cm (hauteur du trapèze)

$\circ$ $CD = 4$cm (base inférieure)

On applique le théorème de Pythagore :

$AC^2 = AD^2 + CD^2$

$AC^2 = 6^2 + 4^2$

$AC^2 = 36 + 16 = 52$

Donc :

$AC = \sqrt{52}$ cm

Tu apprendras bientôt que cela peut également s'écrire :

$AC = \sqrt{4 \times 13} = 2\sqrt{13}$cm

Pourquoi ?

Si tu calcules $\left(\sqrt {52}\right)^2$, tu trouves $52$.

Si tu calcules $\left(2\sqrt{13}\right)^2$, tu trouves $\left(2\sqrt{13}\right)^2=2^2\times \left(\sqrt{13}\right)^2=4\times 13=52$.

Ces deux nombres $\sqrt {52}$ et $2\sqrt{13}$ sont deux nombres positifs qui admettent le même carré, ils sont donc égaux.

Exercice $2$

Données :

$\circ$ $EF = \sqrt{3}$cm

$\circ$ $FG = 2$cm

$\circ$ Triangle $EFG$ rectangle en $F$

$1.$ Calcul de l’hypoténuse $EG$

D’après le théorème de Pythagore :

$EG^2 = EF^2 + FG^2$

$\circ$ $EF^2 = (\sqrt{3})^2 = 3$

$\circ$ $FG^2 = 2^2 = 4$

Donc :

$EG^2 = 3 + 4 = 7$

Donc :

$EG = \sqrt{7}$cm

$2.$ Vérification

$EG^2 = EF^2 + FG^2$

$EG^2 = 3 + 4 = 7$
et $(\sqrt{7})^2 = 7$

Donc l'égalité est bien vérifiée.

Réponse : $EG = \sqrt{7}$cm

Exercice 3

Le codage indique que le triangle est rectangle. Appliquons le théorème de Pythagore.

$x^2+(2x)^2=\left(\sqrt{180}\right)^2$

mais : $(2x)^2=(2\times x)^2=2^2\times x^2=4x^2$

et : $\left(\sqrt{180}\right)^2=180$.

Tu obtiens alors :

$x^2+4x^2=180$

$5x^2=180$

Tu divises les deux membres par le nombre $5$.

$x^2=\dfrac{180}{5}$ soit en simplifiant :

$x^2=36$

Le nombre positif dont le carré vaut $36$ est le nombre $6$.

$x=\sqrt{36}=6$.

Réponse : $x=6$.