Pythagore : théorème direct ou réciproque ?

👉 Conseils :

$\checkmark$ As-tu fait tes croquis à main levée lorsque ceux-ci n'étaient pas donnés dans l'énoncé ?

$\checkmark$ As-tu reporté les longueurs qu'on te donne ?

$\checkmark$ Si on ne te dit pas dans l'énoncé que le triangle est rectangle, ne marque surtout pas un angle droit !

Exercice $1$

Données :
$AB = 6$cm, $AC = 8$cm, $BC = 10$cm

👉 Après avoir fait mon croquis approximatif, les questions qu'on me pose me font penser à la réciproque du théorème de Pythagore.

$1.$ Calcul de $AB^2 + AC^2$

$AB^2 = 6^2 = 36$
$AC^2 = 8^2 = 64$

Donc :

$AB^2 + AC^2 = 36 + 64 = 100$

$2.$ Calcul de $BC^2$

$BC^2 = 10^2 = 100$

$3.$ Conclusion

On constate que :

$AB^2 + AC^2 = BC^2$

Donc, selon la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, car $[BC]$ est opposé à l’angle $\widehat{A}$.

Réponse : Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.

Exercice $2$

Données :
$DE = 2\sqrt{3}$cm, $EF = 4$cm, $DF = \sqrt{28}$cm

👉Avec la calculatrice, je cherche des valeurs approchées pour savoir qui peut être le côté le plus long.

$\sqrt{28}\approx 5,3$ et $2\sqrt 3\approx 3,5$, donc le plus long côté est $[DF]$(puisque $[EF]$ ne mesure que $4$ cm).

👉 Après avoir fait mon croquis approximatif, les questions qu'on me pose me font penser à la réciproque du théorème de Pythagore.

$1.$ Calcul de $DE^2 + EF^2$

$DE^2 = (2\sqrt{3})^2 = 4 \times 3 = 12$
$EF^2 = 4^2 = 16$

Donc :

$DE^2 + EF^2 = 12 + 16 = 28$

$2.$ Calcul de $DF^2$

$DF^2 = (\sqrt{28})^2 = 28$

$3.$ Conclusion

On a :

$DE^2 + EF^2 = DF^2$

Donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $DEF$ est rectangle en $E$, car le côté $[DF]$ est opposé à l’angle $\widehat{E}$.

Réponse : Le triangle $DEF$ est rectangle en $E$.

Exercice $3$

Données :

$\circ$ $AB = \sqrt{3}$cm
$\circ$ $AC = 2$cm
$\circ$ Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$
$\circ$ On cherche $BC$ puis on veut savoir si $BEC$ est rectangle

$1.$ Calcul de $BC$

Dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$, on applique le théorème de Pythagore :

$BC^2 = AB^2 + AC^2$

$BC^2 = (\sqrt{3})^2 + 2^2 = 3 + 4 = 7$

Donc :

$BC = \sqrt{7}$cm

$2.$ Le triangle $BEC$ est-il rectangle ?

Données :
$\circ$ $BE = 1$cm
$\circ$ $EC = \sqrt{6}$cm
$\circ$ $BC = \sqrt{7}$cm (calcul précédent)

Le côté le plus long est donc $[BC]$.

On vérifie si le triangle $BEC$ est rectangle en $E$, en testant la réciproque du théorème de Pythagore.

On calcule :

$BE^2 + EC^2 = 1^2 + (\sqrt{6})^2 = 1 + 6 = 7$
$BC^2 = (\sqrt{7})^2 = 7$

Donc :

$BE^2 + EC^2 = BC^2$

Par conséquent, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $BEC$ est rectangle en $E$.

Conclusion :
$\circ$ $BC = \sqrt{7}$cm
$\circ$ Le triangle $BEC$ est rectangle en $E$