Thalès configuration triangles emboîtés : théorème ou réciproque ?

👉 Conseils :

$\checkmark$ Commence toujours ton exercice en faisant un dessin à main levée,

$\checkmark$ Utilise des couleurs similaires pour des droites dont on te dit qu'elles sont parallèles

Exercice 1 :

👉 As-tu reconnu que cela était un exercice de calcul d'une longueur manquante ? Tu sais que les droites sont parallèles, donc tu peux utiliser le théorème de Thalès.

On sait que $(MN)\parallel(BC)$ donc, d'après le théorème de Thalès :

$\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}$

$\circ$ Calcul de $AN$ :

On a $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}$

Donc $\dfrac{5}{8}=\dfrac{AN}{10}$

Produit en croix : $5\times10=8\times AN$

$50=8\times AN$

On divise par $8$ :

$AN=\dfrac{50}{8}=6,25$~cm

$\circ$ Calcul de $MN$ :

On a $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{MN}{BC}$

Donc $\dfrac{5}{8}=\dfrac{MN}{12}$

Produit en croix : $5\times12=8\times MN$

$60=8\times MN$

On divise par $8$ :

$MN=\dfrac{60}{8}=7,5$cm

Exercice 2

👉 As-tu reconnu que cela était un exercice sur la réciproque de Thalès ? En effet, pour le moment tu ne sais pas que les droites sont parallèles, tu ne peux donc pas utiliser le théorème de Thalès.

On cherche à savoir si $(PQ)$ et $(YZ)$ sont parallèles.

On calcule $\dfrac{XP}{XY}$ et $\dfrac{XQ}{XZ}$.

$\circ$ $\dfrac{XP}{XY}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$

$\circ$ $\dfrac{XQ}{XZ}=\dfrac{2,5}{5}=\dfrac{1}{2}$

On a bien $\dfrac{XP}{XY}=\dfrac{XQ}{XZ}$.

D'après la réciproque du théorème de Thalès, si les rapports sont égaux, alors les droites $(PQ)$ et $(YZ)$ sont parallèles.

Conclusion : $(PQ)\parallel(YZ)$.

Exercice 3 :

👉 As-tu reconnu que tu vas calculer des rapports pour voir si les droites sont parallèles ce qui te permettrait d'utiliser la réciproque du Théorème de Thalès.

On cherche à savoir si $(GH)$ et $(EF)$ sont parallèles.

On calcule $\dfrac{DG}{DE}$ et $\dfrac{DH}{DF}$.

$\circ$ $\dfrac{DG}{DE}=\dfrac{4,5}{9}=\dfrac{1}{2}$

$\circ$ $\dfrac{DH}{DF}=\dfrac{5}{10}=\dfrac{1}{2}$

On a bien $\dfrac{DG}{DE}=\dfrac{DH}{DF}$.

Donc, d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites $(GH)$ et $(EF)$ sont parallèles.

$\circ$ Calcul de $GH$ :

👉 Tu sais maintenant que les droites $(PQ)$ et $(EF)$ sont parallèles. Tu utilises le théorème de Thalès pour calculer la longueur manquante.

On sait que :

$\dfrac{DG}{DE}=\dfrac{GH}{EF}$

Donc :

$\dfrac{1}{2}=\dfrac{GH}{7}$

Produit en croix : $1\times7=2\times GH$

$7=2\times GH$

On divise par $2$ :

$GH=\dfrac{7}{2}=3,5$cm