Somme et moyenne d'un échantillon

Exercice 1

Rappel de l’énoncé. Un étudiant lance un dé équilibré à 6 faces, 4 fois de suite. On définit $X$ le résultat d’un lancer et l’échantillon $(X_1,X_2,X_3,X_4)$.

1. Donner $E(X)$ et $Var(X)$.

2. Calculer $E(S_4)$ et $Var(S_4)$, où $S_4=X_1+X_2+X_3+X_4$.

Loi de $X$. Uniforme sur $\{1,2,3,4,5,6\}$, donc pour tout $k$ de 1 à 6 : $P(X=k)=\dfrac{1}{6}$.

Espérance de $X$.
$E(X)=\dfrac{1+2+3+4+5+6}{6}=\dfrac{21}{6}=\dfrac{7}{2}=3{,}5$.
👉 Pense “moyenne arithmétique des 6 valeurs”.

Variance de $X$.
$E(X^2)=\dfrac{1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2}{6}=\dfrac{91}{6}$.
$Var(X)=E(X^2)-\big(E(X)\big)^2=\dfrac{91}{6}-\left(\dfrac{7}{2}\right)^2=\dfrac{35}{12}$.
👉 Rappel utile : $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.

Somme $S_4$. Par indépendance et identité de loi :
$E(S_4)=4E(X)=4\times\dfrac{7}{2}=14$.
$Var(S_4)=4Var(X)=4\times\dfrac{35}{12}=\dfrac{35}{3}$.
👉 Utilise $E\left(\sum X_i\right)=\sum E(X_i)$ et $Var\left(\sum X_i\right)=\sum Var(X_i)$ si les $X_i$ sont indépendantes.

Résultats. $E(X)=\dfrac{7}{2}$, $Var(X)=\dfrac{35}{12}$, $E(S_4)=14$, $Var(S_4)=\dfrac{35}{3}$.

Exercice 2 — Correction

Rappel de l’énoncé. Dans un magasin, la probabilité qu’un client achète est $0{,}3$. On observe $n=20$ clients : $X$ est le nombre d’achats. On répète l’enquête pendant 5 jours indépendants : $(X_1,\dots,X_5)$.

1. Quelle est la loi de $X$ ?

2. Déterminer $E(S_5)$ et $Var(S_5)$, où $S_5=X_1+\dots+X_5$.

Loi de $X$.
$X\sim B(20,0{,}3)$ (20 essais indépendants, probabilité $p=0{,}3$).
👉 Réflexe : “compter des succès” $\Rightarrow$ binomiale.

Paramètres d’un jour.
$E(X)=np=20\times 0{,}3=6$.
$Var(X)=np(1-p)=20\times 0{,}3\times 0{,}7=4{,}2$.

Somme sur 5 jours indépendants.
$E(S_5)=5E(X)=5\times 6=30$.
$Var(S_5)=5Var(X)=5\times 4{,}2=21$.
👉 Additionne les espérances ; additionne les variances seulement si indépendance.

Résultats. $X\sim B(20,0{,}3)$, $E(S_5)=30$, $Var(S_5)=21$.

Exercice 3

Rappel de l’énoncé. Un jeu offre des gains $X\in{0,5,10}$ avec $P(X=0)=0{,}5$, $P(X=5)=0{,}3$, $P(X=10)=0{,}2$. Sur une semaine, 7 clients jouent : $(X_1,\dots,X_7)$.

1. Calculer $E(X)$ et $\sigma(X)$.

2. Déterminer $E(M_7)$ et $\sigma(M_7)$ pour $M_7=\dfrac{X_1+\dots+X_7}{7}$.

Espérance et variance d’une partie.
$E(X)=0\times 0{,}5+5\times 0{,}3+10\times 0{,}2=3{,}5$.
$E(X^2)=0^2\times 0{,}5+25\times 0{,}3+100\times 0{,}2=27{,}5$.
$Var(X)=E(X^2)-\big(E(X)\big)^2=27{,}5-3{,}5^2=27{,}5-12{,}25=15{,}25$.
$\sigma(X)=\sqrt{15{,}25}\approx 3{,}91$.
👉 Calcule $E(X^2)$ puis retire $E(X)^2$ : c’est souvent plus rapide.

Moyenne de 7 parties.
$E(M_7)=E(X)=3{,}5$.
$Var(M_7)=\dfrac{Var(X)}{7}=\dfrac{15{,}25}{7}\approx 2{,}1786$.
$\sigma(M_7)=\dfrac{\sigma(X)}{\sqrt{7}}\approx \dfrac{3{,}91}{\sqrt{7}}\approx 1{,}48$.
👉 La moyenne “stabilise” : l’écart-type est divisé par $\sqrt{n}$.

Résultats. $E(X)=3{,}5$, $\sigma(X)\approx 3{,}91$, $E(M_7)=3{,}5$, $\sigma(M_7)\approx 1{,}48$.

Exercice 4

Rappel de l’énoncé. $20$ des personnes utilisent le vélo pour aller travailler. On interroge $n=100$ personnes : $X$ est le nombre de cyclistes. On répète l’expérience sur 10 échantillons indépendants de 100 personnes et on considère $M_{10}=\dfrac{X_1+\dots+X_{10}}{10}$.

1. Quelle est la loi de $X$ ?

2. Déterminer $E(X)$ et $\sigma(X)$.

3. Donner $E(M_{10})$ et $\sigma(M_{10})$.

Loi d’un échantillon de 100.
$X\sim B(100,0{,}2)$.

Paramètres de $X$.
$E(X)=np=100\times 0{,}2=20$.
$Var(X)=np(1-p)=100\times 0{,}2\times 0{,}8=16$.
$\sigma(X)=\sqrt{16}=4$.
👉 Interprétation : sur 100 personnes, on attend en moyenne 20 cyclistes, avec “dispersion” d’environ 4.

Moyenne sur 10 échantillons.
$E(M_{10})=E(X)=20$.
$Var(M_{10})=\dfrac{Var(X)}{10}=\dfrac{16}{10}=1{,}6$.
$\sigma(M_{10})=\sqrt{1{,}6}\approx 1{,}26$.
👉 Plus on moyenne d’échantillons indépendants, plus l’incertitude baisse (facteur $\sqrt{n}$).

Résultats. $X\sim B(100,0{,}2)$, $E(X)=20$, $\sigma(X)=4$, $E(M_{10})=20$, $\sigma(M_{10})\approx 1{,}26$.

Exercice 5

Rappel de l’énoncé. Une machine produit des pièces ; probabilité de défaut $0{,}02$. On prélève $n=50$ pièces : $X$ est le nombre de pièces défectueuses. On répète l’expérience 12 fois et on considère $M_{12}=\dfrac{X_1+\dots+X_{12}}{12}$.

1. Quelle est la loi de $X$ ?

2. Donner $E(X)$ et $\sigma(X)$.

3. Déterminer $E(M_{12})$ et $\sigma(M_{12})$.

Loi.
$X\sim B(50,0{,}02)$.

Paramètres de $X$.
$E(X)=np=50\times 0{,}02=1$.
$Var(X)=np(1-p)=50\times 0{,}02\times 0{,}98=0{,}98$.
$\sigma(X)=\sqrt{0{,}98}\approx 0{,}99$.
👉 En moyenne, 1 pièce défectueuse sur 50 ; l’écart-type est proche de 1.

Moyenne sur 12 répétitions.
$E(M_{12})=E(X)=1$.
$Var(M_{12})=\dfrac{Var(X)}{12}=\dfrac{0{,}98}{12}\approx 0{,}0817$.
$\sigma(M_{12})=\sqrt{0{,}0817}\approx 0{,}286$.
👉 La moyenne de lots répétés est plus “précise” que la mesure d’un seul lot.

Résultats. $X\sim B(50,0{,}02)$, $E(X)=1$, $\sigma(X)\approx 0{,}99$, $E(M_{12})=1$, $\sigma(M_{12})\approx 0{,}286$.