Somme de variables aléatoires

Partie A

Dans cette partie, on s'intéresse aux séquences de 4 caractères en base64.
Par exemple, ''gP3g'' est une telle séquence.
Dans une séquence, l'ordre est à prendre en compte : les séquences ''m5C2'' et ''5C2m'' ne sont pas identiques.

1. Nous devons déterminer le nombre de séquences possibles.

Il s'agit ici de déterminer le nombre d'arrangements avec répétition de 4 éléments pris parmi 64 éléments.

Pour le premier caractère, nous avons 64 possibilités.
À chacune de ces possibilités, nous avons 64 possibilités pour le deuxième caractère.
À chacune de ces nouvelles possibilités, nous avons 64 possibilités pour le troisième caractère.
Enfin, à chacune de ces dernières possibilités, nous avons 64 possibilités pour le quatrième caractère.

Nous obtenons ainsi $64\times64\times64\times64$ possibilités.
Or $64\times64\times64\times64=64^4=16\,777\,216$.
Par conséquent, il y a $16\,777\,216$ séquences possibles.

2. Nous devons déterminer le nombre de séquences si l'on impose que les 4 caractères sont différents deux à deux.

Il s'agit ici de déterminer le nombre d'arrangements simples de 4 éléments pris parmi 64 éléments.

Pour le premier caractère, nous avons 64 possibilités.
À chacune de ces possibilités, il y a 63 possibilités pour le deuxième caractère.
À chacune de ces nouvelles possibilités, il y a 62 possibilités pour le troisième caractère.
Enfin, à chacune de ces dernières possibilités, il reste 61 possibilités pour le quatrième caractère.

Nous obtenons ainsi $64\times63\times62\times61$ possibilités.
Or $64\times63\times62\times61=15\,249\,024$.
Par conséquent, il y a $15\,249\,024$ séquences que les 4 caractères sont différents deux à deux.

3. a) Nous devons déterminer le nombre de séquences ne comportant pas de lettre A majuscule.

Pour le premier caractère, nous avons 63 possibilités.
À chacune de ces possibilités, nous avons 63 possibilités pour le deuxième caractère.
À chacune de ces nouvelles possibilités, nous avons 63 possibilités pour le troisième caractère.
Enfin, à chacune de ces dernières possibilités, nous avons 63 possibilités pour le quatrième caractère.

Nous obtenons ainsi $63\times63\times63\times63$ possibilités.
Or $63\times63\times63\times63=63^4=15\,752\,961$.
Par conséquent, il y a $15\,752\,961$ séquences ne comportant pas de lettre A majuscule.

3. b) Nous devons en déduire le nombre de séquences comportant au moins une lettre A majuscule.

De toutes les séquences possibles, nous retirons les séquences ne comportant pas de lettre A majuscule.
Nous obtenons ainsi $16\,777\,216-15\,752\,961$ possibilités.
Or $16\,777\,216-15\,752\,961=1\,024\,255$.
Par conséquent, il y a $1\,024\,255$ séquences comportant au moins une lettre A majuscule.

3. c) Nous devons déterminer le nombre de séquences comportant exactement une fois la lettre A majuscule.

La lettre A majuscule peut occuper 4 positions dans la séquence.
À chacune de ces positions, il y a $63\times63\times63$ possibilités pour les trois autres caractères.

Nous obtenons ainsi $4\times63\times63\times63$ possibilités.
Or $4\times63\times63\times63=4\times 63^3=1\,000\,188$.
Par conséquent, il y a $1\,000\,188$ séquences comportant exactement une fois la lettre A majuscule.

3. d) Nous devons déterminer le nombre de séquences comportant exactement deux fois la lettre A majuscule.

Il y a $\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}=6$ manières de choisir 2 emplacements pour la lettre A majuscule parmi les 4 emplacements.
À chacune de ces manières, il y a $63\times63$ manières d'occuper les 2 autres positions avec les 63 caractères restants.

Nous obtenons ainsi $6\times63\times63$ possibilités.
Or $6\times63\times63=6\times 63^2=23\,814$.
Par conséquent, il y a $23\,814$ séquences comportant exactement deux fois la lettre A majuscule.

Partie B

On s'intéresse à la transmission d'une séquence de 250 caractères d'un ordinateur à un autre.
On suppose que la probabilité qu'un caractère soit mal transmis est égale à 0,01 et que les transmissions des différents caractères sont indépendantes entre elles.
On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de caractères mal transmis.

1. On admet que la variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale.
   Nous devons donner ses paramètres.

Lors de cette expérience, on répète 250 fois des épreuves identiques et indépendantes.
Chaque épreuve comporte deux issues :
Succès : ''le caractère est mal transmis'' dont la probabilité est $p=0,01$.
Échec : ''le caractère est bien transmis'' dont la probabilité est $1-p=0,99$.

La variable aléatoire $X$ compte le nombre de caractères mal transmis, soit le nombre de succès à la fin de la répétition des épreuves.
D'où la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale $\mathscr{B}(250\,;\,0,01)$.

Cette loi est donnée par :
$\boxed{P(X=k)=\begin{pmatrix}250\\k\end{pmatrix}\times0,01^k\times0,99^{250-k}}$

2. Nous devons déterminer la probabilité que tous les caractères soient bien transmis, soit $P(X=0)$.

$P(X=0)=\begin{pmatrix}250\\0\end{pmatrix}\times0,01^0\times0,99^{250-0}$
$\phantom{P(X=0)}=1\times1\times0,99^{250}$
$\phantom{P(X=0)}=0,99^{250}$

$\Longrightarrow\quad\boxed{P(X=0)=0,99^{250}\approx0,081}$

Par conséquent, la probabilité que tous les caractères soient bien transmis est égale à $0,99^{250}$, soit à environ 0,081.

3. Nous devons émettre un avis sur la phrase suivante :
   ''La probabilité que plus de 16 caractères soient mal transmis est négligeable''.

Nous obtenons, par la calculatrice :
$P(X>16)=P(X\geq17)\approx\boxed{1,04\times10^{-9}}$

Donc, l'affirmation est parfaitement sensée.

Partie C

On s'intéresse maintenant à la transmission de 4 séquences de 250 caractères.
On note $X_1, X_2, X_3$ et $X_4$ les variables aléatoires correspondant aux nombres de caractères mal transmis lors de la transmission de chacune des 4 séquences.
On admet que les variables aléatoires $X_1, X_2, X_3$ et $X_4$ sont indépendantes entre elles et suivent la même loi que la variable aléatoire $X$ définie en partie B.
On note $S = X_1 + X_2 + X_3 + X_4$.

Nous devons déterminer, en justifiant, l'espérance et la variance de la variable aléatoire $S$.

• Déterminons l'espérance de la variable aléatoire $S$.

$E(S)=E(X_1+X_2+X_3+X_4)$
$\phantom{E(S)}=E(X_1)+E(X_2)+E(X_3)+E(X_4)\quad\text{(par linéarité de l'espérance)}$
$\phantom{E(S)}=E(X)+E(X)+E(X)+E(X)$
$\phantom{E(S)}=4\times E(X)$
$\phantom{E(S)}=4\times n\times p$
$\phantom{E(S)}=4\times 250\times 0,01$
$\phantom{E(S)}=10$

$\Longrightarrow\quad\boxed{E(S)=10}$

• Déterminons la variance de la variable aléatoire $S$.

$V(S)=V(X_1+X_2+X_3+X_4)$
$\phantom{V(S)}=V(X_1)+V(X_2)+V(X_3)+V(X_4)\quad\text{(car les variables sont indépendantes)}$
$\phantom{V(S)}=V(X)+V(X)+V(X)+V(X)$
$\phantom{V(S)}=4\times V(X)$
$\phantom{V(S)}=4\times n\times p\times (1-p)$
$\phantom{V(S)}=4\times 250\times 0,01\times (1-0,01)$
$\phantom{V(S)}=4\times 250\times 0,01\times 0,99$
$\phantom{V(S)}=9,9$

$\Longrightarrow\quad\boxed{V(S)=9,9}$