Variable aléatoire moyenne d'un échantillon

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I. Échantillon de taille $n$ d’une loi de probabilité

Définition :
Un échantillon de taille $n$ d’une loi de probabilité est une liste $(X_1, \dots, X_n)$ de $n$ variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées (i.i.d.), qui suivent toutes cette loi.

II. Moyenne d’un échantillon

Définition :
Soit $(X_1, \dots, X_n)$ un échantillon de taille $n$ de la loi de probabilité suivie par une variable aléatoire $X$.

La moyenne de cet échantillon est la variable aléatoire :

$M_n = \dfrac{S_n}{n} = \dfrac{X_1 + \dots + X_n}{n}$

Propriétés :

Soit $M_n$ la moyenne d’un échantillon de taille $n$ de la loi de probabilité suivie par une variable aléatoire $X$. On a :

$\circ\quad E(M_n) = E(X)$

$\circ\quad Var(M_n) = \dfrac{Var(X)}{n}$

$\circ\quad \sigma(M_n) = \dfrac{\sigma(X)}{\sqrt{n}}$

III. Un exemple

Pendant la fête de l’école, Constantine a prévu de jouer 10 fois au jeu du sanglier, dans lequel elle peut gagner un certain nombre de points, noté $X$.

Voici la loi de probabilité de $X$ :

Déterminons l’espérance et l’écart-type du gain moyen par partie pour une série de 10 parties.

Les 10 parties sont indépendantes les unes des autres, donc elles constituent un échantillon $(X_1, \dots, X_{10})$ de taille 10 de la loi de probabilité de $X$.

La variable aléatoire $M_{10}$, définie par : $M_{10} = \dfrac{X_1 + \dots + X_{10}}{10}$ modélise alors le gain moyen.

À l’aide de la calculatrice, on obtient :

$E(X) = 5,7$ et $\sigma(X) \approx 13,47$.

Donc :

$E(M_{10}) = 5,7$

$\sigma(M_{10}) \approx \dfrac{13,47}{\sqrt{10}}$ soit $\sigma(M_{10}) \approx 4,26$.