Des variables aléatoires

Exercice 1

Rappel de l’énoncé. On lance une pièce équilibrée. On définit la variable aléatoire $X$ qui vaut $1$ si on obtient pile, et $0$ si on obtient face.

1. Donner la loi de probabilité de $X$.

2. Calculer $E(X)$ et $Var(X)$.

Loi de $X$. Comme la pièce est équilibrée, on a $P(X=1)=\dfrac{1}{2}$ et $P(X=0)=\dfrac{1}{2}$.
👉 Astuce : pour une Bernoulli de paramètre $p$, $P(X=1)=p$ et $P(X=0)=1-p$.

Espérance. Par définition, $E(X)=1 \times \dfrac{1}{2}+0 \times \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}$.
👉 Pense “valeur $\times$ probabilité”, puis additionnez toutes les contributions.

Variance. Pour une Bernoulli de paramètre $p=\dfrac{1}{2}$, $Var(X)=p(1-p)=\dfrac{1}{2}\left(1-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{1}{4}$.
👉 Tu peux aussi passer par $E(X^2)-\big(E(X)\big)^2$ ; ici $X^2=X$ donc on retrouve le même résultat.

Résultats. $P(X=1)=\dfrac{1}{2}$, $P(X=0)=\dfrac{1}{2}$, $E(X)=\dfrac{1}{2}$, $Var(X)=\dfrac{1}{4}$.

Exercice 2

Rappel de l’énoncé. On lance un dé équilibré à $6$ faces numérotées de $1$ à $6$. $X$ est le numéro obtenu.

1. Écrire la loi de $X$.

2. Calculer $E(X)$ et $Var(X)$.

Loi de $X$. Chaque face a la même probabilité : pour $k \in {1,2,3,4,5,6}$, $P(X=k)=\dfrac{1}{6}$.

Espérance.
$E(X)=\dfrac{1+2+3+4+5+6}{6}=\dfrac{21}{6}=\dfrac{7}{2}=3{,}5$.
👉 Utilise la somme des entiers consécutifs : $\dfrac{n(n+1)}{2}$ pour $n=6$.

Variance (méthode par $E(X^2)$).
$E(X^2)=\dfrac{1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2}{6}=\dfrac{91}{6}$.
Alors $Var(X)=E(X^2)-\big(E(X)\big)^2=\dfrac{91}{6}-\left(\dfrac{7}{2}\right)^2=\dfrac{91}{6}-\dfrac{49}{4}=\dfrac{182-147}{12}=\dfrac{35}{12}$.
👉 Rappel utile : $\sum_{k=1}^{n}k^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.

Résultats. $P(X=k)=\dfrac{1}{6}$, $E(X)=\dfrac{7}{2}$, $Var(X)=\dfrac{35}{12}$.

Exercice 3

Rappel de l’énoncé. On lance deux dés équilibrés à $6$ faces. On note $X$ le résultat du premier, $Y$ celui du second, et $S=X+Y$.

1. Donner la loi de $S$.

2. Calculer $P(S=7)$.

3. Calculer $E(S)$.

Loi de $S$. Les valeurs possibles vont de $2$ à $12$. Le nombre de couples $(x,y)$ tels que $x+y=s$ donne la probabilité $P(S=s)=\dfrac{\text{nombre de couples}}{36}$.

Tableau des sommes possibles

On met $x$ en ligne (dé 1), $y$ en colonne (dé 2) :

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x \backslash y & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ \hline 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ \hline 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ \hline 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 \\ \hline 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 \\ \hline \end{array}$

👉 On dit que c’est une loi triangulaire car si tu traces le nombre de façons d’obtenir chaque somme, ça fait un triangle qui monte jusqu’à 6 (au centre) puis redescend.

$\checkmark$ On en déduit les probabilités

Comme chaque couple est équiprobable parmi les $36$, les probabilités sont ces occurrences divisées par $36$.
Exemple : $P(S=7)=\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}$.

On obtient la loi triangulaire :
$1,2,3,4,5,6,5,4,3,2,1$ occurrences pour $s=2,3,\dots,12$ respectivement, donc
$P(S=2)=\dfrac{1}{36}$, $P(S=3)=\dfrac{2}{36}$, …, $P(S=7)=\dfrac{6}{36}$, …, $P(S=12)=\dfrac{1}{36}$.
👉 Pense “comptage de couples” : pour $s$ au centre (7), il y a le plus de décompositions.

Probabilité que $S=7$. D’après la loi ci-dessus, $P(S=7)=\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}$.

Espérance de $S$. Par linéarité, $E(S)=E(X)+E(Y)$. Or pour un dé équilibré, $E(X)=E(Y)=\dfrac{7}{2}$. Ainsi $E(S)=\dfrac{7}{2}+\dfrac{7}{2}=7$.
👉 La linéarité $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$ vaut sans hypothèse d’indépendance.

Résultats. Loi triangulaire de $2$ à $12$, $P(S=7)=\dfrac{1}{6}$, $E(S)=7$.

Exercice 4

Rappel de l’énoncé. Une urne contient $3$ boules rouges, $2$ vertes et $1$ bleue (soit $6$ boules). On tire une boule au hasard. On définit $X$ par : $X=3$ si rouge, $X=2$ si verte, $X=1$ si bleue.

1. Écrire la loi de $X$.

2. Calculer $E(X)$.

3. Déterminer $Var(X)$ et $\sigma(X)$.

Loi de $X$. On a $P(X=3)=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$, $P(X=2)=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$, $P(X=1)=\dfrac{1}{6}$.
👉 Vérifie toujours que les probabilités somment à $1$ : $\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6}=1$.

Espérance.
$E(X)=3 \times \dfrac{1}{2}+2 \times \dfrac{1}{3}+1 \times \dfrac{1}{6}=\dfrac{3}{2}+\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{9+4+1}{6}=\dfrac{14}{6}=\dfrac{7}{3}$.

Variance (par $E(X^2)$).
$E(X^2)=3^2 \times \dfrac{1}{2}+2^2 \times \dfrac{1}{3}+1^2 \times \dfrac{1}{6}=\dfrac{9}{2}+\dfrac{4}{3}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{27+8+1}{6}=6$.
Donc $Var(X)=E(X^2)-\big(E(X)\big)^2=6-\left(\dfrac{7}{3}\right)^2=6-\dfrac{49}{9}=\dfrac{54-49}{9}=\dfrac{5}{9}$.
Écart-type. $\sigma(X)=\sqrt{Var(X)}=\sqrt{\dfrac{5}{9}}=\dfrac{\sqrt{5}}{3}$.
👉 Garde les fractions exactes le plus longtemps possible, puis évalue si besoin en décimal.

Résultats. $P(X=3)=\dfrac{1}{2}$, $P(X=2)=\dfrac{1}{3}$, $P(X=1)=\dfrac{1}{6}$, $E(X)=\dfrac{7}{3}$, $Var(X)=\dfrac{5}{9}$, $\sigma(X)=\dfrac{\sqrt{5}}{3}$.

Exercice 5

Rappel de l’énoncé. Soit $X \sim B(10,0{,}3)$.

1. Donner $E(X)$ et $Var(X)$.

2. Calculer $\sigma(X)$.

3. Donner une interprétation concrète de $E(X)$.

Espérance et variance (propriétés de la loi binomiale).
$E(X)=np=10 \times 0{,}3=3$.
$Var(X)=np(1-p)=10 \times 0{,}3 \times 0{,}7=2{,}1$.
👉 Pour $B(n,p)$ : pensez “$np$” et “$np(1-p)$”, formules à connaître par cœur.

Écart-type. $\sigma(X)=\sqrt{Var(X)}=\sqrt{2{,}1}\approx 1{,}449$.
👉 Laisse la racine si tu travaille en exact ; donne l’arrondi au centième si demandé.

Interprétation de $E(X)$. Sur une répétition de $10$ essais indépendants de probabilité de succès $0{,}3$, on s’attend en moyenne à observer $3$ succès.