Somme d'un échantillon

I. Échantillon de taille $n$ d’une loi de probabilité

Définition :
Un échantillon de taille $n$ d’une loi de probabilité est une liste $(X_1, \dots, X_n)$ de $n$ variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées (i.i.d.), qui suivent toutes cette loi.

Exemple :
Laëtitia prend le train cinq jours par semaine. On admet que la variable aléatoire $X$, qui compte le nombre de retards, suit la loi binomiale $B(5, 0{,}1)$.

En répétant cette expérience pendant 8 semaines, on construit un échantillon de taille 8 de cette loi de probabilité :

$(X_1, X_2, X_3, X_4, X_5, X_6, X_7, X_8)$

II. Somme d’un échantillon

Définition :
Soit $(X_1, \dots, X_n)$ un échantillon de taille $n$ de la loi de probabilité suivie par une variable aléatoire $X$.

La somme de cet échantillon est la variable aléatoire :

$S_n = X_1 + X_2 + \dots + X_n = \sum\limits_{i=1}^{n} X_i$

Propriétés :

Soit $S_n$ la somme d’un échantillon de taille $n$ de la loi de probabilité suivie par une variable aléatoire $X$. On a :

$\circ\quad E(S_n) = nE(X)$

$\circ\quad Var(S_n) = nVar(X)$

$\circ\quad \sigma(S_n) = \sqrt{n} \times \sigma(X)$