Second degré : somme et produit de racines

Exercice 1

On sait que $(x_1+x_2)^2 = x_1^2+2x_1x_2+x_2^2$, d’où
$x_1^2+x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2$

Or $x_1$ et $x_2$ étant les racines du trinôme, on a :
$x_1+x_2 = \dfrac{-b}{a} \quad$ et $\quad x_1x_2 = \dfrac{c}{a}$

Donc $x_1^2+x_2^2 = \dfrac{b^2}{a^2} - \dfrac{2c}{a}$

Par ailleurs, on peut vérifier que $(x_1+x_2)^3 = (x_1+x_2)(x_1^2-x_1x_2+x_2^2)$

Ainsi $x_1^3+x_2^3 = \left(\dfrac{-b}{a}\right)\left(\dfrac{b^2}{a^2} - \dfrac{3c}{a}\right) = \dfrac{-b^3}{a^3} + \dfrac{3bc}{a^2}$

Exercice 2

1. Résolution du système
   $\left\lbrace \begin{matrix} x+y&=&15 \\ xy&=&56 \end{matrix}\right.$

On pose l’équation $x^2 - Sx + P=0$, soit
$x^2-15x+56=0$

$\Delta = (-15)^2 - 4\times1\times56 = 225-224=1$

Deux racines distinctes :
$x_1=\dfrac{15-1}{2}=7$
$x_2=\dfrac{15+1}{2}=8$

Donc les solutions sont les couples $S=\{(7,8);(8,7)\}$.

2. Pour le système $\left\lbrace \begin{matrix} x-y&=&15 \\ xy&=&-56 \end{matrix}\right.$

On remplace $y$ par $-y$ dans le précédent : les solutions sont les couples $(7,-8)$ et $(8,-7)$.

Exercice 3

Soit $x$ et $y$ les âges actuels.
$\left\lbrace \begin{matrix} x+y&=&53 \\ (x+5)(y+5)&=&990 \end{matrix}\right.$

Ce qui donne :
$\left\lbrace \begin{matrix} x+y&=&53 \\ xy+5(x+y)+25&=&990 \end{matrix}\right.$

$\left\lbrace \begin{matrix} x+y&=&53 \\ xy+265+25&=&990 \end{matrix}\right.$

Donc $xy=700$.

Équation : $x^2-53x+700=0$

$\Delta=53^2-4\times700=2809-2800=9$

$x_1=\dfrac{53-3}{2}=25$
$x_2=\dfrac{53+3}{2}=28$

Donc les deux amis ont 25 et 28 ans.

Exercice 4

a) $3x^2+7x-10=0 \quad \Rightarrow \quad x=1$ est solution, donc l'autre solution est $-\dfrac{10}{3}$.
b) $2x^2+9x+7=0 \quad \Rightarrow \quad x=-1$ est solution, donc l'autre solution est $-\dfrac 72$.

2. $x^2+11x-26=0$

   Vérification pour $x=2$ : $2^2+11\cdot2-26=0$.
   Donc $2$ est racine. Le produit des racines vaut $c/a=-26$.
   L’autre racine est $-13$.

3. Racines 3 et -5 :
   Équation $(x-3)(x+5)=0$
   Soit $x^2+2x-15=0$.

4. On cherche deux nombres de somme 9 et produit -70.
   Équation $y^2-9y-70=0$
   $\Delta=(-9)^2-4\times(-70)=81+280=361$
   $\sqrt{\Delta}=19$

$y_1=\dfrac{9-19}{2}=-5$
$y_2=\dfrac{9+19}{2}=14$

Solutions : les couples $(-5~;14)$ ou $(14~;-5)$.