Second degré : variation, forme canonique, factorisation

Exercice 1

a)

$P(x)=ax^2+bx+c\\ P(-1)=0 \text{ et } P(4)=0 \\\text{ et } P(x)>0 \text{ si } -1<x<4$

Le polynôme admet deux racines donc le discriminant est strictement positif ,et a est strictement négatif puisque le polynôme est positif, donc du signe opposé de a entre les racines

b) Comme -1 et 4 sont les racines , alors on peut factoriser P , par (x-(-1))et (x-4). On obtient :
$P(x)=a(x+1)(x-4)$
$\text{ Comme }a\neq 0 ;\,\quad \dfrac{1}{a}P(x)=\dfrac{1}{a}\times a(x+1)(x-4)=(x+1)(x-4)$

c)
$P(2)=2^2a+2b+c=4a+2b+c=27$
D'après le 1) ,
$\dfrac{-b}{a}=-1+4=3 \text{ d'où }b=-3a$

$\dfrac{c}{a}=-1\times 4=-4 \text{ d'où }c=-4a \text{ donc }$

$4a+2b+c=4a-6a -4a=27 \text{ et } -6a=27$

$a=\dfrac{-27}{6}=-\dfrac{9}{2}=-4,5 \quad b=-3\times \dfrac{-9}{2}=\dfrac{27}{2}=13,5 \quad c=-4\times \dfrac{-9}{2}=18$
d'où l'expression du polynôme : $P(x) =- \dfrac{9}{2}x^2+\dfrac{27}{2}x+18$ que l'on peut aussi écrire
$P(x)=-4,5x^2+13,5x+18$

Exercice 2

Soit $C_f$ la parabole représentative de la fonction f

$A(1;2)\in C_f \Longleftrightarrow f(1)=2 \\ B(2; -3)\in C_f \Longleftrightarrow f(2)=-3 \\ C(3; -12)\in C_f \Longleftrightarrow f(3)=-12$

on en déduit le système d'équations à 3 inconnues, à résoudre :
$\left\lbrace\begin{matrix} a+b+c& = & 2\\ 4a+2b+c& = &-3 \\ 9a+3b+c& = &-12 \end{matrix}\right.$

après résolution (combinaison linéaire et substitution), on obtient a=-2, b=1 et c = 3,
d'où $f(x) = -2x^2+x+3$

Exercice 3

Partie 1 : Forme canonique
$f(x)=3x^2 + 12x - 9 = 3(x^2+4x)-9=3(x^2+4x+4)-12-9=3(x+2)^2-21$
On en déduit le tableau de variations
Le coefficient de $x^2$ étant positif la fonction est donc strictement décroissante sur $]-\infty~;~-2[$ et strictement croissante sur $]-2~;~+\infty[$

$\begin{array}{c|ccccc|}x & -\infty & & -2 & & +\infty \\ \hline & & \searrow &_{\scriptsize -21} & \nearrow & \end{array}$

Partie 2

1 Tracé de la courbe

2 Tableau de variation
$\begin{array}{c|ccccc|} x & -\infty & & 1 & & +\infty \\ \hline f(x)& & \nearrow & ^{\scriptsize 2} & \searrow & \end{array}$

3 En utilisant la forme canonique, nous obtenons $f(x)=a(x-1)^2+2$ .

Déterminons $a$ en écrivant que la parabole passe par B
$0=a(3-1)^2+2$ d'où $a=-\dfrac{1}{2}$
Une écriture de $f(x)$ est $\boxed{f(x)=-\dfrac{1}{2}(x-1)^2+2}$ ou en développant $\boxed{ f(x)=-\dfrac{1}{2}x^2+x+\dfrac{3}{2}}$

4

$\checkmark$ Nous traçons la droite d'équation $y=\dfrac{3}{2}$ et nous lisons les abscisses des points d'intersection de cette droite avec la courbe soit $x_1=0 \quad x_2=2$
L'ensemble des solutions de l'équation $f(x)=\dfrac{3}{2}$ est $\mathcal{S}=\lbrace 0~;~2\rbrace$

$\checkmark$ Les solutions de l'inéquation $f(x)\ge 0$ sont les abscisses des points pour lesquelles la courbe P est située au dessus de l'axe des abscisses ou le coupe.
Les points d'intersection de la courbe et de l'axe des abscisses sont A et B. La courbe est située au-dessus de l'axe entre ces deux points. $\mathcal{S}=[-1~;~3]$