Second degré : Equation dans R

b) $2x^2+x+8=0$

$\Delta <0$ donc l'équation proposée n'admet pas de solution.

$S=\emptyset$

c) $-x^2+6x+2=0$

Le discriminant est égal à : $\Delta=44$

On obtient : $x_1=\dfrac{-6-\sqrt{44}}{-2} \text{ ou } x_2=\dfrac{-6+\sqrt{44}}{-2}$ que l'on peut simplifier. $S=\lbrace 3-\sqrt{11}\;;\;3+\sqrt{11}\rbrace$

Exercice 3

Pour résoudre de telles équations du second degré, je calcule les discriminants :

a)$2x^2 + x - 15 = 0$

$\Delta = 1 - 4 \times 2 \times (-15) = 121 = 11^2$

Le discriminant étant strictement positif, l'équation admet deux solutions distinctes : $x_1=\dfrac{-1-11}{2\times2}=-3$ $x_2=\dfrac{-1+11}{2\times2}=\dfrac{5}{2}$

D'où : $\boxed{S = \left \lbrace -3 ; \dfrac{5}{2} \right \rbrace}$

b)$-x^2 + x + 2 = 0$

$\Delta = 1 - 4 \times (-1) \times 2 = 9 = 3^2$

Le discriminant étant strictement positif, l'équation admet deux solutions distinctes : $x_1=\dfrac{-1-3}{-2}=2$ $x_2=\dfrac{-1+3}{-2}=-1$

D'où : $\boxed{S = \lbrace -1 ; 2 \rbrace}$

c)$x^2 - 2\sqrt{5}\, x + 5 = 0$

On reconnait une identité remarquable.

Cela s'écrit $(x-\sqrt{5})^2=0$

Pour cet exemple, le calcul du discriminant était donc peu indiqué. On l'aurait trouvé nul bien entendu. D'où :

$\boxed{S = \lbrace \sqrt{5} \rbrace}$

d)$5x^2 + 3x + 2 = 0$

$\Delta = 3^2 - 4 \times 5 \times 2 = -31$ Le discriminant étant négatif, l'équation n'admet pas de solution dans $\mathbb{R}$. D'où : $\boxed{S = \emptyset}$

Exercice 4

1. $\Delta < 0$ donc l'équation $-x^2+6x-10=0$ n'admet aucune solution dans R

2. $\Delta > 0$ donc l'équation $x^2+4x-21=0$ admet 2 solutions réelles $S=\lbrace -7\;;\; 3\rbrace$

3. $\Delta = 0$ donc $9x^2+6x+1$ est un carré, le carré de $3x+1$ $9x^2+6x+1=0\Longleftrightarrow (3x+1)^2=0 \Longleftrightarrow x=-\dfrac 1 3$ et $S=\left\lbrace-\dfrac 1 3 \right\rbrace$

Exercice 5

1. $\Delta > 0$ donc $x^2 + 4x - 21$ se factorise en : $(x + 7)(x - 3)$.

2. $\Delta = 0$ donc $8x^2 + 8x + 2$ se factorise en : $8\left(x + \dfrac{1}{2} \right)^2$

3. $\Delta < 0$ donc $-3x^2 + 7x -8$ ne se factorise pas