Entraînement

Repère du plan et décomposition de vecteurs (2)

Signaler

Énoncé

On considère un parallélogramme ABCDABCD.

On appelle EE, FF et GG les points respectivement définis par :
DE→=2DB→\overrightarrow{DE}=2\overrightarrow{DB}, CF→=5CA→\overrightarrow{CF}=5\overrightarrow{CA} et BG→=3AB→\overrightarrow{BG}=3\overrightarrow{AB}.

En utilisant un repère judicieusement choisi, montrer que les points EE, FF et GG sont alignés.

Révéler le corrigé

picture-in-textDE→=2DB→\overrightarrow{DE}=2\overrightarrow{DB}, CF→=5CA→\overrightarrow{CF}=5\overrightarrow{CA} et BG→=3AB→\overrightarrow{BG}=3\overrightarrow{AB}.

On se place dans le repère (A;AB→;AD→)(A;\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD}).

AE→=AD→+DE→=AD→+2DB→=AD→+2(DA→+AB→)=−AD→+2AB→\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AD}+2\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{AD}+2(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB})=-\overrightarrow{AD}+2\overrightarrow{AB}.

Donc E(2;−1)E(2;-1).

AF→=AB→+BC→+CF→=AB→+AD→+5CA→=AB→+AD→+5CB→+BA→=AB→+AD→−5AD→−5AB→\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+5\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+5\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}-5\overrightarrow{AD}-5\overrightarrow{AB}.

AF→=−4AB→−4AD→\overrightarrow{AF}=-4\overrightarrow{AB}-4\overrightarrow{AD}.

Donc F(−4;−4)F(-4;-4).

AG→=AB→+BG→=AB→+3AB→=4AB→\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BG}=\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AB}=4\overrightarrow{AB}.

Donc G(4;0)G(4;0).

Ainsi EF→(−6;−3)\overrightarrow{EF}(-6;-3) et EG→(2;1)\overrightarrow{EG}(2;1).

Par conséquent −6×1−(−3)×2=−6+6=0-6\times1-(-3)\times2=-6+6=0.

Ces deux vecteurs sont colinéaires et les points EE, FF et GG sont donc alignés.

Quel contenu veux-tu voir ?
CoursLes vecteursCoursRepère du plan et décomposition de vecteurs
Exercice précédent
Repère du plan et décomposition de vecteurs (1)
Exercice suivant
Repère du plan et décomposition de vecteurs (3)