Repère du plan et décomposition de vecteurs

I. Repères du plan

Il existe trois types de repères dans le plan.

Définition :

Un repère du plan est un triplet $(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$ où O est un point, et $\overrightarrow{i}$ et $\overrightarrow{j}$ sont deux vecteurs non colinéaires.

$\checkmark$ $O(0;0)$ est le point origine.

$\checkmark$ $(O; \overrightarrow{i})$et $(O; \overrightarrow{j})$ sont respectivement l'axe des abscisses et l'axe des ordonnées.

Propriété à retenir :

$\overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}\iff M\text{ a pour coordonnées }(x\,;\,y)\text{ dans le repère } (0;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$

II. Décomposition vectorielle

Propriété

Soient $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs non colinéaires.

Pour tout vecteur $\overrightarrow{w}$, il existe un unique couple $(x ; y)$ de réels tels que :

$\overrightarrow{w} = x \overrightarrow{u} + y \overrightarrow{v}$.

On dit que les coordonnées de $\overrightarrow{w}$ dans la base $(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})$ sont $(x, y)$.

Conséquences

Donner les coordonnées de $M$ dans le repère $(A;\overrightarrow{AB},{{\overrightarrow{AC}}})$ , c'est donc déterminer $x \text{ et } y$ réels tels que $\overrightarrow{AM}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$

On dit alors que $M$ a pour coordonnées $(x;y)$ dans le repère $(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$

III. Un exemple

On considère un parallélogramme $ABCD$ et on construit les points $I$ et $J$ tels que :

$\overrightarrow{AI}=3\overrightarrow{AB}$ et $J$ est le symétrique de $I$ par rapport à $C$.

On veut exprimer $\overrightarrow{AJ}$ dans la base $(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD})$.

Solution :

D'après la relation de Chasles, on a : $\overrightarrow{AJ}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IJ}$

Or par définition $\overrightarrow{AI}=3\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{IJ}=2\overrightarrow{IC}$

Donc : $\overrightarrow{AJ}=3\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{IC}$

D'après la relation de Chasles et le fait que $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$, on a :

$\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$

$\phantom{\overrightarrow{IC}}=-3\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$

$\phantom{\overrightarrow{IC}}=-2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$

Ainsi, $\overrightarrow{AJ}=3\overrightarrow{AB}-4\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AD}=-\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AD}$