Énoncé

Exercice 1

Dans un repère $(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ , on considère les points $A(2;5)$ , $B(4;-2)$ , $C(-5;1)$ et $D(-1;6)$ .

Déterminer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{BA}$ , $\overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{AD}$ .
Que peut-on en déduire pour les droites $(BC)$ et $(AD)$ .
On considère le point $K$ défini par
$BK=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\dfrac{1}{4}\overrightarrow{BC}$ .

Déterminer les coordonnées du point $K$ .

On appelle $I$ le milieu du segment $[BC]$ .

Déterminer les coordonnées du point $I$ .

Montrer que les points $I$ , $K$ et $A$ sont alignés.

Exercice 2

On considère un triangle quelconque $ABC$ .

On considère les points $H$ et $G$ tels que
$\overrightarrow{AH}=-\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}$ et
$\overrightarrow{BG}=-\dfrac{7}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{2}\overrightarrow{BC}$ .

Placer les points $H$ et $G$ .

Déterminer les coordonnées des points de la figure dans le repère $(A~;~\overrightarrow{AB}~,~\overrightarrow{AC})$ .
Que peut-on en déduire pour les points $A$ , $G$ et $H$ ?

Exercice 1

Dans un repère $(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ , on considère les points $A(2;5)$ , $B(4;-2)$ , $C(-5;1)$ et $D(-1;6)$ .

$\overrightarrow{BA}(2-4~;~5-(-2))$ soit $\overrightarrow{BA}(-2~;~7)$

$\overrightarrow{BC}(-5-4~;~1-(-2))$ soit $\overrightarrow{BC}(-9~;~3)$

$\overrightarrow{AD}(-1-2~;~6-5)$ soit $\overrightarrow{AD}(-3~;~1)$

On a $\overrightarrow{BC}(-9~;~3)$ et $\overrightarrow{AD}(-3~;~1)$ .

Donc $-9\times1-3\times(-3)=-9+9=0$ .

Ces deux vecteurs sont donc colinéaires et les droites $(BC)$ et $(AD)$ sont par conséquent parallèles.

On a $\overrightarrow{BK}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\dfrac{1}{4}\overrightarrow{BC}$ .

Donc
$\left\lbrace\begin{matrix} x_K-4=\dfrac{1}{2}\times(-2)+\dfrac{1}{4}\times(-9)\\ y_K+2=\dfrac{1}{2}\times7+\dfrac{1}{4}\times3 \end{matrix}\right.$

d’où
$\left\lbrace\begin{matrix} x_K-4=-\dfrac{13}{4}\\ y_K+2=\dfrac{17}{4} \end{matrix}\right.$

et
$\left\lbrace\begin{matrix} x_K=\dfrac{3}{4}\\ y_K=\dfrac{9}{4} \end{matrix}\right.$

$I$ est le milieu du segment $[BC]$ .

Donc
$\left\lbrace\begin{matrix} x_I=\dfrac{4+(-5)}{2}=-\dfrac{1}{2}\\ y_I=\dfrac{-2+1}{2}=-\dfrac{1}{2} \end{matrix}\right.$

$\overrightarrow{IK}(1,25~;~2,75)$ et $\overrightarrow{IA}(2,5~;~5,5)$ .

Ainsi $1,25\times5,5-2,75\times2,5=6,875-6,875=0$ .

Par conséquent les vecteurs $\overrightarrow{IK}$ et $\overrightarrow{IA}$ sont colinéaires et les points $I$ , $K$ et $A$ sont alignés.

Exercice 2

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On a
$\overrightarrow{AH}=-\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}$ et
$\overrightarrow{BG}=-\dfrac{7}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{2}\overrightarrow{BC}$ .
Dans le repère $(A;\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC})$ , on a facilement
$A(0;0)$ , $B(1;0)$ et $C(0;1)$ .
Puisque $\overrightarrow{AH}=-\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}$ ,
alors $H(-0,75;0,5)$ .
$\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BG}=\overrightarrow{AB}-\dfrac{7}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{2}\overrightarrow{BC}=-\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{2}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC})$ .
$\overrightarrow{AG}=-\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}-\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AC}=-\dfrac{9}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AC}$ .
Donc $G(-2,25;1,5)$ .
$\overrightarrow{AG}(-2,25;1,5)$ et $\overrightarrow{AH}(-0,75;0,5)$ .
$-2,25\times0,5-1,5\times(-0,75)=-1,125+1,125=0$
Par conséquent ces deux vecteurs sont colinéaires et les points $A$ , $G$ et $H$ sont alignés.

Repère du plan et décomposition de vecteurs (1)

Énoncé

Exercice 1

Exercice 2

Révéler le corrigé

Exercice 1

Exercice 2