Repère du plan et décomposition de vecteurs (1)

Exercice 1

Dans un repère $(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$, on considère les points $A(2;5)$, $B(4;-2)$, $C(-5;1)$ et $D(-1;6)$.

$\overrightarrow{BA}(2-4~;~5-(-2))$ soit $\overrightarrow{BA}(-2~;~7)$

$\overrightarrow{BC}(-5-4~;~1-(-2))$ soit $\overrightarrow{BC}(-9~;~3)$

$\overrightarrow{AD}(-1-2~;~6-5)$ soit $\overrightarrow{AD}(-3~;~1)$

On a $\overrightarrow{BC}(-9~;~3)$ et $\overrightarrow{AD}(-3~;~1)$.

Donc $-9\times1-3\times(-3)=-9+9=0$.

Ces deux vecteurs sont donc colinéaires et les droites $(BC)$ et $(AD)$ sont par conséquent parallèles.

On a $\overrightarrow{BK}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\dfrac{1}{4}\overrightarrow{BC}$.

Donc
$\left\lbrace\begin{matrix} x_K-4=\dfrac{1}{2}\times(-2)+\dfrac{1}{4}\times(-9)\\ y_K+2=\dfrac{1}{2}\times7+\dfrac{1}{4}\times3 \end{matrix}\right.$

d’où
$\left\lbrace\begin{matrix} x_K-4=-\dfrac{13}{4}\\ y_K+2=\dfrac{17}{4} \end{matrix}\right.$

et
$\left\lbrace\begin{matrix} x_K=\dfrac{3}{4}\\ y_K=\dfrac{9}{4} \end{matrix}\right.$

$I$ est le milieu du segment $[BC]$.

Donc
$\left\lbrace\begin{matrix} x_I=\dfrac{4+(-5)}{2}=-\dfrac{1}{2}\\ y_I=\dfrac{-2+1}{2}=-\dfrac{1}{2} \end{matrix}\right.$

$\overrightarrow{IK}(1,25~;~2,75)$ et $\overrightarrow{IA}(2,5~;~5,5)$.

Ainsi $1,25\times5,5-2,75\times2,5=6,875-6,875=0$.

Par conséquent les vecteurs $\overrightarrow{IK}$ et $\overrightarrow{IA}$ sont colinéaires et les points $I$, $K$ et $A$ sont alignés.

Exercice 2