Dans le plan muni d’un repère on considère les points A(−2;1), B(−1;4) et C(2;3).
On appelle M le symétrique du point A par rapport au point B et N le symétrique du point A par rapport au point C. Déterminer les coordonnées des points M et N.
On considère les points P et Q définis par AP=−3AB et AQ=−3AC. a) Déterminer les coordonnées des points P et Q. b) Démontrer que les droites (MN) et (PQ) sont parallèles.
Exercice 2
On considère un parallélogramme ABCD.
On définit les points M et N par AM=21AB et CN=2CB. Montrer que les points D, M et N sont alignés.
On considère un réel k non nul et on définit maintenant les points M et N par : AM=kAB et CN=k1CB.
L’alignement des points D, M et N est-il toujours vrai ?
Révéler le corrigé
Exercice 1
M est le symétrique du point A par rapport au point B. B est donc le milieu du segment [AM].
Ainsi ⎩⎨⎧−1=2−2+xM4=21+yM d’où {xM=0yM=7
N est le symétrique du point A par rapport au point C. C est donc le milieu du segment [AN].
Ainsi ⎩⎨⎧2=2−2+xN3=21+yN d’où {xN=6yN=5
On a AB(1;3) et AC(4;2).
a) AP=−3AB.
Donc {xP+2=−3×1yP−1=−3×3 d’où {xP=−5yP=−8
AQ=−3AC.
Donc {xQ+2=−3×4yQ−1=−3×2 d’où {xQ=−14yQ=−5
b) MN(6;−2) et PQ(−9;3).
Donc 6×3−(−2)×(−9)=18−18=0.
Ces vecteurs sont colinéaires et les droites (MN) et (PQ) sont parallèles.
Exercice 2
ABCD est un parallélogramme donc AB=DC et CB=DA.
DM=DA+AM=DA+21AB
DN=DC+CN=AB+CN=AB+2CB=AB+2DA
On constate donc que DN=2DM.
Ces deux vecteurs sont donc colinéaires et les points D, M et N sont alors alignés.
On définit les points M et N par AM=21AB et CN=2CB.
On procède de la même façon.
DM=DA+AM=DA+kAB
DN=DC+CN=AB+CN=AB+k1CB=AB+k1DA
On constate donc que DM=kDN.
Les vecteurs DM et DN sont donc colinéaires et les points D, M et N sont alignés pour tout réel k non nul.
