Apprends à manipuler les vecteurs dans le plan : égalité, somme, coordonnées, colinéarité, milieu, distance et déterminant. Ces outils te permettent de résoudre des problèmes géométriques avec précision.
Mots-clés : vecteurs, coordonnées, relation de Chasles, colinéarité, déterminant, géométrie repérée.
I. Egalité de vecteurs
Dire que AB=DC revient à dire que
la figure ABCDest un parallélogramme.
II. Somme de deux vecteurs : relation de Chasles
AB+BC=AC, connue sous le nom de relation de Chasles
mais qui n'est rien d'autre que
la définition de la somme de deux vecteurs.
III. Coordonnées d'un vecteur dans un repère du plan
Dans un repère (O,I,J) les coordonnées d'un vecteur u sont les coordonnées du point M tel que u=OM
Dans cet exemple, le vecteurua pour coordonnées (2;1). Et on écrit : u(2;1).
IV. Rappels de résultats en géométrie repérée
Soient A(xA;yA) et B(xB;yB) deux points du plan dans un repère.
Les coordonnées du vecteur AB sont données par :
AB=(xB−xAyB−yA)
Les coordonnées du milieuI du segment [AB] sont données par :
I(2xA+xB;2yA+yB)
La distanceAB est donnée par :
AB=∣∣AB∣∣=(xB−xA)2+(yB−yA)2.
V. Colinéarité de deux vecteurs
Définition : On dit que deux vecteurs u et v non nuls sont colinéaires si et seulement si il existe un réel k non nul tel que u=kv.
Définition du déterminant de deux vecteurs :
Soient deux vecteurs u et v tels que : u=(xy) et v=(x′y′).
On définit le déterminant de u et v par : det(u,v)=xy′−x′y.
Propriété :
Deux vecteurs u et v sont colinéaires si et seulement si : det(u,v)=0.
