Repère du plan et décomposition de vecteurs (2)

$\overrightarrow{DE}=2\overrightarrow{DB}$, $\overrightarrow{CF}=5\overrightarrow{CA}$ et $\overrightarrow{BG}=3\overrightarrow{AB}$.

On se place dans le repère $(A;\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD})$.

$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AD}+2\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{AD}+2(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB})=-\overrightarrow{AD}+2\overrightarrow{AB}$.

Donc $E(2;-1)$.

$\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+5\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+5\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}-5\overrightarrow{AD}-5\overrightarrow{AB}$.

$\overrightarrow{AF}=-4\overrightarrow{AB}-4\overrightarrow{AD}$.

Donc $F(-4;-4)$.

$\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BG}=\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AB}=4\overrightarrow{AB}$.

Donc $G(4;0)$.

Ainsi $\overrightarrow{EF}(-6;-3)$ et $\overrightarrow{EG}(2;1)$.

Par conséquent $-6\times1-(-3)\times2=-6+6=0$.

Ces deux vecteurs sont colinéaires et les points $E$, $F$ et $G$ sont donc alignés.