Pythagore : réciproque ou contraposée ?

👉 Conseils :

$\checkmark$ As-tu fait tes croquis à main levée lorsque ceux-ci n'étaient pas donnés dans l'énoncé ?

$\checkmark$ As-tu reporté les longueurs qu'on te donne ?

$\checkmark$ Si on ne te dit pas dans l'énoncé que le triangle est rectangle, ne marque surtout pas un angle droit ! dans ce cas, repère le côté le plus long pour voir si on peut appliquer la réciproque ou la contraposée du théorème de Pythagore.

Exercice 1

👉 Le côté le plus long est $[DE]$.

Calculons $CD^2 + CE^2 = 3,6^2 + 4,2^2 =12,96 + 17,64 = 30,6$

et $DE^2 = 5,5^2 = 30,25$, ce qui est différent de $30,6$.

$DE^2\neq CD^2+CE^2$ donc d'après la contraposée du théorème de Pythagore :

le triangle $CDE$ n’est pas rectangle.

Exercice 2

👉 Le côté le plus long est $[DE]$.

On veut savoir si le triangle $RST$ est rectangle. On teste si la relation de Pythagore est vérifiée :

On calcule $RS^2 + ST^2$ :

$RS^2 = 6^2 = 36$
$ST^2 = 8^2 = 64$
$RS^2 + ST^2 = 36 + 64 = 100$

Or :

$RT^2 = 10^2 = 100$

Donc :

$RS^2 + ST^2 = RT^2$

La relation de Pythagore est vérifiée, ce qui permet d'appliquer la réciproque du théorème de Pythagore.

Conclusion : Le triangle $RST$ est rectangle en $S$.

Exercice 3

👉 Le côté le plus long est $[YZ]$.

On cherche à savoir si le triangle $XYZ$ est rectangle.

On calcule $XY^2 + YZ^2$ :

$XY^2 = 6^2 = 36$
$YZ^2 = 5^2 = 25$
$XY^2 + YZ^2 = 36 + 25 = 61$

Or :

$XZ^2 = 10^2 = 100$

On constate que :

$XY^2 + YZ^2 \ne XZ^2$

Donc la relation de Pythagore n’est pas vérifiée.

D’après la contraposée du théorème de Pythagore, si $a^2 + b^2 \ne c^2$, alors le triangle n’est pas rectangle.

Conclusion : Le triangle $XYZ$ n’est pas rectangle.