Pythagore : le bilan

👉 Conseils :

$\checkmark$ As-tu fait tes croquis à main levée lorsque ceux-ci n'étaient pas donnés dans l'énoncé ?

$\checkmark$ As-tu reporté les longueurs qu'on te donne ?

Exercice 1

a. Longueur $IJ$

On considère le triangle rectangle $ICJ$, rectangle en $C$ (hypoténuse $[IJ]$) :

• $I$ et $J$ sont milieux de $[CD]$ et $[CB]$

• $CD$ et $CB$ sont perpendiculaires, et de longueur $5$cm

• Donc : $CI = CJ = \dfrac{5}{2} = 2{,}5$cm

Dans le triangle rectangle $ICJ$, on applique Pythagore :

$IJ^2 = CI^2 + CJ^2 = 2{,}5^2 + 2{,}5^2 = 6{,}25 + 6{,}25 = 12{,}5$

Donc : $IJ = \sqrt{12{,}5}$cm

b. Longueur $JK$

On considère le triangle rectangle $JCK$, rectangle en $C$ (hypoténuse $[JK]$) :

• $J$ et $K$ sont milieux de $[CB]$ et $[CG]$

• $CB \perp CG$ dans le cube

$CJ = CK = 2{,}5$cm

Donc :

$JK^2 = CJ^2 + CK^2 = 2{,}5^2 + 2{,}5^2 = 12{,}5$

$JK = \sqrt{12{,}5}$cm

c. Longueur $KI$

Même raisonnement dans le triangle rectangle $ICK$, rectangle en $C$ (hypoténuse $[IK]$) :

• $CI = CK = 2{,}5$cm

Donc :

$KI^2 = CI^2 + CK^2 = 12{,}5$
$KI = \sqrt{12{,}5}$cm

Étape 3 : Périmètre du triangle $IJK$

Tous les côtés mesurent $2{,}5\sqrt{2}$cm, donc :

$Périmètre = 3 \times \sqrt{12{,}5}$cm

Conclusion

$\circ$ Le périmètre du triangle $IJK$ est $3 \times \sqrt{12{,}5}$cm

Exercice 2

👉 Avais-tu fait un croquis pour comprendre ton énoncé ?

1. Raisonnement intuitif

a) La flèche est-elle plus grande pour $AB = 100$m ou pour $AB = 10$m ?

Intuitivement, si on ajoute $1$m de corde sur $100$m de distance, cela crée une courbure très faible. Sur $10$m, la courbure est plus importante.
Donc : on peut penser que la flèche est plus grande pour $AB = 10$m.

b) Lorsque $AB = 100$m, la flèche mesure environ : $1$cm ; $20$cm ; $7$m ?

Puisqu’on ajoute seulement $1$m de corde à une distance déjà très longue, on s’attend à une flèche très petite, probablement de l’ordre de quelques centimètres.
Donc : environ $1$cm.

2. Calcul de la flèche $IJ$ par le théorème de Pythagore

Données :

• $AB = d$

• $I$ est le milieu de $[AB]$, donc $AI = \dfrac{d}{2}$

• Longueur de la corde : $d + 1$

• Comme $AJB$ est un triangle isocèle avec $AJ = \dfrac{d+1}{2}$, on utilise le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle $AIJ$ :

Formule :

$AJ^2 = AI^2 + IJ^2$
donc $IJ^2 = AJ^2 - AI^2$

Cas 1 : $d = 100$m

$AI = \dfrac{100}{2} = 50$
$AJ = \dfrac{101}{2} = 50{,}5$
$AJ^2 = 50{,}5^2 = 2550{,}25$
$AI^2 = 50^2 = 2500$
$IJ^2 = 2550{,}25 - 2500 = 50{,}25$
$IJ = \sqrt{50{,}25} \approx 7{,}09$m

Cas 2 : $d = 10$m

$AI = \dfrac{10}{2} = 5$
$AJ = \dfrac{11}{2} = 5{,}5$
$AJ^2 = 5{,}5^2 = 30{,}25$
$AI^2 = 5^2 = 25$
$IJ^2 = 30{,}25 - 25 = 5{,}25$
$IJ = \sqrt{5{,}25} \approx 2{,}29$m

Conclusion :

$IJ \approx 7{,}09$m pour $AB = 100$m
$IJ \approx 2{,}29$m pour $AB = 10$m

👉 Contrairement à l’intuition, la flèche est plus grande lorsque la corde est plus longue, la même rallonge crée une flèche plus haute sur une base plus large.

Exercice 3

👉 Travaille toujours avec la figure sous les yeux.

1) L’aire du rectangle $BCDE$ est :
$BC \times EB = 4{,}2 \times 7 = 29{,}4$cm².

2) a.
Dans le triangle $ABE$, rectangle en $A$, d’après le théorème de Pythagore :
$BE^2 = AB^2 + AE^2$, donc $AE^2 = BE^2 - AB^2 = 49 - 17{,}64 = 31{,}36$
On en déduit que $AE = \sqrt{31{,}36} = 5{,}6$cm

2) b.
L’aire du triangle $ABE$, rectangle en $A$, est :

$\displaystyle \text{Aire} = \dfrac{AB \times AE}{2} = \dfrac{4{,}2 \times 5{,}6}{2} = 11{,}76$cm²

3) a.
$AH$ est perpendiculaire à $(CD)$ d’après l’énoncé, et $(ED)$ est perpendiculaire à $(CD)$, car $BCDE$ est un rectangle.
$(HA)$ et $(ED)$ sont toutes les deux perpendiculaires à $(CD)$, donc elles sont parallèles entre elles.

3) b.
$E \in [AF]$, $D \in [HF]$ et $(ED)$ est parallèle à $(HA)$, donc d’après le théorème de Thalès : $\displaystyle \frac{FE}{FA} = \frac{FD}{FH} = \frac{ED}{AH}$

En particulier :

$\displaystyle AH = \frac{ED \times FA}{EF}$ avec $ED = BC = 4{,}2$cm (car $BCDE$ est un rectangle) et $FA = FE = 7$cm, $EF = 5{,}6$cm (car $E \in [AF]$)

Donc : $\displaystyle AH = \frac{4{,}2 \times 1{,}6}{7} = 7{,}56$cm