Propriétés de la fonction logarithme népérien

Exercice 1

Utiliser $\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)$.

Exemple 1
$\ln(15)=\ln(3\times 5)=\ln(3)+\ln(5)$.

Exemple 2
$\ln(24)=\ln(3\times 8)=\ln(3)+\ln(8)$ puis $\ln(8)=\ln(2^3)=3\ln(2)$, donc $\ln(24)=\ln(3)+3\ln(2)$.

Exemple 3
$\ln(50)=\ln(2\times 25)=\ln(2)+\ln(25)$ et $\ln(25)=\ln(5^2)=2\ln(5)$, donc $\ln(50)=\ln(2)+2\ln(5)$.

Exercice 2

Appliquer $\ln!\left(\dfrac{1}{a}\right)=-\ln(a)$.

Exemple 1
$\ln!\left(\dfrac{1}{3}\right)=-\ln(3)$.

Exemple 2
$\ln!\left(\dfrac{1}{7}\right)=-\ln(7)$.

Exemple 3
$\ln!\left(\dfrac{1}{10}\right)=-\ln(10)$ et $\ln(10)=\ln(2\times 5)=\ln(2)+\ln(5)$, donc $\ln!\left(\dfrac{1}{10}\right)=-\ln(2)-\ln(5)$.

Exercice 3

Utiliser $\ln\left(\dfrac{a}{b}\right)=\ln(a)-\ln(b)$.

Exemple 1
$\ln\left(\dfrac{9}{2}\right)=\ln(9)-\ln(2)=\ln(3^2)-\ln(2)=2\ln(3)-\ln(2)$.

Exemple 2
$\ln\left(\dfrac{5}{20}\right)=\ln(5)-\ln(20)$. Or $\dfrac{5}{20}=\dfrac{1}{4}$, donc $\ln!\left(\dfrac{5}{20}\right)=\ln\left(\dfrac{1}{4}\right)=-\ln(4)=-\ln(2^2)=-2\ln(2)$.

Exemple 3
$\ln\left(\dfrac{12}{3}\right)=\ln(12)-\ln(3)$. Comme $\dfrac{12}{3}=4$, on obtient aussi $\ln(4)=\ln(2^2)=2\ln(2)$.

Exercice 4

Appliquer $\ln(a^n)=n,\ln(a)$.

Exemple 1
$\ln(2^5)=5\ln(2)$.

Exemple 2
$\ln(3^4)=4\ln(3)$.

Exemple 3
$\ln(10^2)=2\ln(10)$ et $\ln(10)=\ln(2\times 5)=\ln(2)+\ln(5)$, donc $\ln(10^2)=2\ln(2)+2\ln(5)$.

Exercice 5

Utiliser $\ln(\sqrt{a})=\dfrac{1}{2}\ln(a)$.

Exemple 1
$\ln(\sqrt{7})=\dfrac{1}{2}\ln(7)$.

Exemple 2
$\ln(\sqrt{25})=\dfrac{1}{2}\ln(25)=\dfrac{1}{2}\cdot 2\ln(5)=\ln(5)$. (On pouvait aussi remarquer directement $\sqrt{25}=5$.)

Exemple 3
$\ln(\sqrt{48})=\dfrac{1}{2}\ln(48)=\dfrac{1}{2}\ln(16\times 3)=\dfrac{1}{2}\big(\ln(16)+\ln(3)\big)=\dfrac{1}{2}\big(\ln(2^4)+\ln(3)\big)=\dfrac{1}{2}\big(4\ln(2)+\ln(3)\big)=2\ln(2)+\dfrac{1}{2}\ln(3)$.