Produit scalaire (2)

$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{IB}=AB\times IB=4\times2=8$

$\overrightarrow{AI}\cdot\overrightarrow{CO}=\overrightarrow{AI}\cdot\overrightarrow{BI}=-AI\times BI=-2\times2=-4$

$\overrightarrow{AI}\cdot\overrightarrow{BC}=0$ car les deux vecteurs sont orthogonaux.

$\overrightarrow{DI}\cdot\overrightarrow{DB}=\dfrac{1}{2}\left(\lVert\overrightarrow{DI}\rVert^2+\lVert\overrightarrow{DB}\rVert^2- \lVert\overrightarrow{DI}-\overrightarrow{DB}\rVert^2\right)$

${\phantom{\overrightarrow{DI}\cdot\overrightarrow{DB}}=\dfrac{1}{2}\left(DI^2+DB^2- \lVert\overrightarrow{DI}+\overrightarrow{BD}\rVert^2\right)}$

${\phantom{\overrightarrow{DI}\cdot\overrightarrow{DB}}=\dfrac{1}{2}\left(DI^2+DB^2-BI^2\right)}$

On applique le théorème de Pythagore dans le triangle $ADI$ rectangle en $A$ :
$DI^2=AI^2+AD^2=2^2+4^2=20$

On applique le théorème de Pythagore dans le triangle $ADB$ rectangle en $A$ :
$DB^2=AB^2+AD^2=4^2+4^2=32$

On sait que $BI^2=2^2=4$

Ainsi $\overrightarrow{DI}\cdot\overrightarrow{DB}=\dfrac{1}{2}(20+32-4)=\dfrac{1}{2}\times48=24$

On sait que $\overrightarrow{DI}\cdot\overrightarrow{DB}=24$.

Or $\overrightarrow{DI}\cdot\overrightarrow{DB}=DI\times DB\times\cos\widehat{BDI}=\sqrt{20}\times\sqrt{32}\times\cos\widehat{BDI}$.

Par conséquent
$\cos\widehat{BDI}=\dfrac{24}{\sqrt{20}\times\sqrt{32}}=\dfrac{3}{\sqrt{10}}$

Et $\widehat{BDI}\approx18,4^\circ$.