ABCD est un rectangle tel que AB=5 et BC=3. ABF est un triangle équilatéral et BCE est un triangle rectangle isocèle en C. H est le milieu du segment [AB].
Calculer les produits scalaires suivants :
AB⋅AH BC⋅BE AB⋅AF
DB⋅CE BE⋅BA HC⋅CE
AF⋅DC BF⋅CE HD⋅DC
Exercice 2
Calculer u⋅v dans chacun des cas suivants (le quadrillage est de côté 1)
Révéler le corrigé
Exercice 1
AB⋅AH=AB×AH=5×2,5=12,5 (car les deux vecteurs sont colinéaires et de même sens).
BC⋅BE=BC×BE×cosCBE On applique le théorème de Pythagore dans le triangle CBE rectangle en B. On obtient alors BE2=9+9=18=32.
Donc BC⋅BE=3×32×cos4π=3×32×22=9.
AB⋅AF=AB×AF×cosBAF=5×5×cos3π=25×21=225.
DB⋅CE=DB×CE×cosCDB On applique le théorème de Pythagore dans le triangle CDB rectangle en D : DB2=CD2+CB2=25+9=34 donc DB=34.
De plus cosCDB=DBCD=345.
Ainsi DB⋅CE=34×3×345=15.
(On pouvait également utiliser le projeté orthogonal de B sur (CE))
BE⋅BA=BE′⋅BA=CE⋅BA=−CE×AB=−3×5=−15 (où E′ est le projeté orthogonal de E sur (AB))
HC⋅CE=H′C⋅CE=HB⋅CE=HB×CE=2,5×3=7,5 (où H′ est le projeté orthogonal de H sur (CE))
AF⋅DC=AH⋅DC=AH×DC=2,5×5=12,5
BF⋅CE=BH⋅CE=−BH×CE=−2,5×5=−12,5
HD⋅DC=H′D⋅DC=HA⋅DC=−AH×DC=−2,5×5=−12,5 (où H′ est le projeté orthogonal de H sur (DC))
Exercice 2
On utilise la projection orthogonale de v sur la droite (AB) :
u⋅v=BA⋅BC=−2×3=−6
On utilise la projection orthogonale de v sur la droite (AB) :
u⋅v=BA⋅BC=−BA2
À l’aide du théorème de Pythagore on obtient que AB2=22+12=5 Donc u⋅v=−5
On utilise la projection orthogonale de u sur la droite (AB) :
