Épreuve ultime

Probabilités en caisse automatique : loi binomiale et inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Cet exercice est constitué de trois parties indépendantes.

Un magasin est équipé de caisses automatiques en libre-service où le client scanne lui-même ses articles. Le logiciel d’une caisse déclenche régulièrement des demandes de vérification. Un employé du magasin effectue alors un contrôle.

Partie A

Le contrôle peut être
• soit « total » : l’employé du magasin scanne alors à nouveau l’ensemble des articles du client ;
• soit « partiel » : l’employé choisit alors un ou plusieurs articles du client pour vérifier qu’ils ont bien été scannés.

Si un contrôle est déclenché, il s’agit une fois sur dix d’un contrôle total.
En cas de contrôle total, une erreur du client est détectée dans 30 % des cas.
En cas de contrôle partiel, il n’y a pas d’erreur détectée dans 85 % des cas.

Un contrôle est déclenché à une caisse automatique.
On considère les événements suivants :
• T : « Le contrôle est un contrôle total » ;
• E : « Une erreur est détectée lors du contrôle ».

On notera $\overline{T}$ et $\overline{E}$ les événements contraires de T et E.

Construire un arbre pondéré représentant la situation puis déterminer $P(\overline{T}\cap E)$ .
Calculer la probabilité qu’une erreur soit détectée lors du contrôle.
Déterminer la probabilité qu’un contrôle total ait été effectué, sachant qu’une erreur a été détectée. On donnera la valeur arrondie au centième.

Partie B

Sur une journée donnée, une caisse automatique déclenche 15 contrôles. La probabilité qu’un contrôle mette en évidence une erreur est $p = 0,165$ . La détection d’une erreur lors d’un contrôle est indépendante des autres contrôles.

On note X la variable aléatoire égale au nombre d’erreurs détectées lors des contrôles de cette journée.

On admet que la variable aléatoire X suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres.
Déterminer la probabilité qu’exactement 5 erreurs soient détectées. On donnera la valeur arrondie au centième.
Déterminer la probabilité qu’au moins une erreur soit détectée. On donnera la valeur arrondie au centième.
On souhaite modifier le nombre de contrôles déclenchés par la caisse de manière à ce que la probabilité qu’au moins une erreur soit détectée chaque jour soit supérieure à 99 %.
Déterminer le nombre de contrôles que doit déclencher la caisse chaque jour pour que cette contrainte soit respectée.

Partie C

Le magasin comporte trois caisses automatiques identiques qui, lors d’une journée, ont chacune déclenché 20 contrôles. On note $X_1$ , $X_2$ et $X_3$ les variables aléatoires associées à chacune des caisses le nombre d’erreurs détectées lors de cette journée. On admet que les variables aléatoires $X_1$ , $X_2$ et $X_3$ sont indépendantes entre elles et suivent chacune une loi binomiale $B(20 ; 0,165)$ .

Déterminer les valeurs exactes de l’espérance et de la variance de la variable aléatoire $X_1$ .
On définit la variable aléatoire S par $S = X_1 + X_2 + X_3$ .
Justifier que $E(S) = 9,9$ et que $V(S) = 8,2665$ .
Pour cette question, on utilisera 10 comme valeur de $E(S)$ .
À l’aide de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrer que la probabilité que le nombre total d’erreurs sur la journée soit strictement compris entre 6 et 14 est supérieure à 0,48.

Un magasin est équipé de caisses automatiques en libre-service où le client scanne lui-même ses articles. Le logiciel d'une caisse déclenche régulièrement des demandes de vérification. Un employé du magasin effectue alors un contrôle.

On considère les événements suivants :

$\bullet$ T : ''Le contrôle est un contrôle total'' ;
$\bullet$ E : ''Une erreur est détectée lors du contrôle''.

Partie A

Arbre pondéré modélisant la situation.

$\bullet$ Si un contrôle est déclenché, il s'agit une fois sur dix d'un contrôle total.

Donc $P(T)=0,1$ .

$\bullet$ En cas de contrôle total, une erreur du client est détectée dans 30~% des cas.

Donc $P_T(E)=0,3$ .

$\bullet$ En cas de contrôle partiel, il n'y a pas d'erreur détectée dans 85~% des cas.

Donc $P_{\overline T}(\overline E)=0,85$ .

D'où l'arbre pondéré ci-dessous.

picture-in-text

Nous devons déterminer $P(\overline T\cap E)$ .

$P(\overline T\cap E)=P(\overline T)\times P_{\overline T}(E)$
$=0,9\times0,15$
$=0,135$

$\Longrightarrow\quad\boxed{P(\overline T\cap E)=0,135}$

Calculons la probabilité qu'une erreur soit détectée lors d'un contrôle, soit $P(E)$ .

Les événements $T$ et $\overline T$ forment une partition de l'univers.
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :

$P(E)=P(T\cap E)+P(\overline T\cap E)$
$=P(T)\times P_T(E)+0,135$
$=0,1\times0,3+0,135$
$=0,165$

$\Longrightarrow\quad\boxed{P(E)=0,165}$

Par conséquent, la probabilité qu'une erreur soit détectée lors d'un contrôle est égale à $0,165$ .

Déterminons la probabilité qu'un contrôle total ait été effectué, sachant qu'une erreur a été détectée, soit $P_E(T)$ .
On donnera la valeur arrondie au centième.

$P_E(T)=\dfrac{P(T\cap E)}{P(E)}$
$=\dfrac{0,1\times0,3}{0,165}$
$\approx0,18$

$\Longrightarrow\quad\boxed{P_E(T)\approx0,18}$

Partie B

Sur une journée donnée, une caisse automatique déclenche 15 contrôles.
La probabilité qu'un contrôle mette en évidence une erreur est $p=0,165$ .
La détection d'une erreur lors d'un contrôle est indépendante des autres contrôles.

On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre d'erreurs détectées lors des contrôles de cette journée.

On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont nous devons préciser les paramètres.

Nous avons : $n=15$ et $p=0,165$ .

D'où la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale $\mathscr B(15~;~0,165)$ .

Cette loi est donnée par :

$P(X=k)=\begin{pmatrix}15\\k\end{pmatrix}\times(0,165)^k\times(1-0,165)^{15-k}$

soit

$\boxed{P(X=k)=\begin{pmatrix}15\\k\end{pmatrix}\times(0,165)^k\times(0,835)^{15-k}}$

Nous devons déterminer la probabilité qu'exactement 5 erreurs soient détectées. On donnera la valeur arrondie au centième.

Nous devons donc calculer $P(X=5)$ .

$P(X=5)=\begin{pmatrix}15\\5\end{pmatrix}\times(0,165)^5\times(0,835)^{10}$
$\approx0,06$

$\Longrightarrow\quad\boxed{P(X=5)\approx0,06}$

Par conséquent, la probabilité qu'exactement 5 erreurs soient détectées est environ égale à $0,06$ (valeur arrondie au centième).

Nous devons déterminer la probabilité qu'au moins une erreur soit détectée. On donnera la valeur arrondie au centième.

Nous devons donc calculer $P(X\geq1)$ .

$P(X\geq1)=1-P(X=0)$
$=1-\begin{pmatrix}15\\0\end{pmatrix}\times(0,165)^0\times(0,835)^{15}$
$=1-(0,835)^{15}$
$\approx0,93$

$\Longrightarrow\quad\boxed{P(X\geq1)\approx0,93}$

Par conséquent, la probabilité qu'au moins une erreur soit détectée est environ égale à $0,93$ (valeur arrondie au centième).

On souhaite modifier le nombre de contrôles déclenchés par la caisse de manière à ce que la probabilité qu'au moins une erreur soit détectée chaque jour soit supérieure à 99~%.

Nous devons déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $P(X\geq1)\geq0,99$ .

$P(X\geq1)\geq0,99$
$\Longleftrightarrow1-P(X=0)\geq0,99$
$\Longleftrightarrow1-(0,835)^n\geq0,99$
$\Longleftrightarrow(0,835)^n\leq0,01$

$\Longleftrightarrow\ln(0,835^n)\leq\ln(0,01)$
$\Longleftrightarrow n\ln(0,835)\leq\ln(0,01)$
$\Longleftrightarrow n\geq\dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,835)}$

(changement de sens de l'inégalité car $\ln(0,835)<0$ )

$\dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,835)}\approx25,54$

Donc le plus petit entier naturel vérifiant l'inégalité est $n=26$ .

Par conséquent, la caisse doit déclencher au moins 26 contrôles pour que la probabilité qu'au moins une erreur soit détectée chaque jour soit supérieure à $99~\%.$

Partie C

Le magasin comporte trois caisses automatiques identiques qui, lors d'une journée, ont chacune déclenché 20 contrôles.

On note $X_1,X_2$ et $X_3$ les variables aléatoires associant à chacune des caisses le nombre d'erreurs détectées lors de cette journée.

On admet que les variables aléatoires $X_1,X_2$ et $X_3$ sont indépendantes entre elles et suivent chacune une loi binomiale $\mathscr B(20~;~0,165)$ .

Nous devons déterminer les valeurs exactes de l'espérance et de la variance de la variable aléatoire $X_1$ .

$\bullet$ Calculons l'espérance $E(X_1)$ .

$E(X_1)=np$
$=20\times0,165$
$=3,3$

$\Longrightarrow\quad\boxed{E(X_1)=3,3}$

$\bullet$ Calculons la variance $V(X_1)$ .

$V(X_1)=np(1-p)$
$=20\times0,165\times0,835$
$=2,7555$

$\Longrightarrow\quad\boxed{V(X_1)=2,7555}$

On définit la variable aléatoire $S$ par $S=X_1+X_2+X_3$ .

Nous devons justifier que $E(S)=9,9$ et que $V(S)=8,2665$ .

$E(S)=E(X_1+X_2+X_3)$
$=E(X_1)+E(X_2)+E(X_3)$
$=3,3+3,3+3,3$
$=9,9$

$\Longrightarrow\quad\boxed{E(S)=9,9}$

$V(S)=V(X_1+X_2+X_3)$
$=V(X_1)+V(X_2)+V(X_3)$
$=2,7555+2,7555+2,7555$
$=8,2665$

$\Longrightarrow\quad\boxed{V(S)=8,2665}$

Pour cette question, on utilisera 10 comme valeur de $E(S)$ .

À l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrer que la probabilité que le nombre total d'erreurs sur la journée soit strictement compris entre 6 et 14 est supérieure à 0,48.

Nous devons montrer : $P(6<S<14)>0,48$ .

$P(6<S<14)=P(-4<S-10<4)$
$=P(|S-10|<4)$
$=1-P(|S-10|\geq4)$

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev :

$P(|S-E(S)|\geq a)\leq\dfrac{V(S)}{a^2}$ où $a>0$ .

En posant $a=4$ :

$P(|S-10|\geq4)\leq\dfrac{8,2665}{16}$

Donc

$P(6<S<14)\geq1-\dfrac{8,2665}{16}$

$1-\dfrac{8,2665}{16}\approx0,4833>0,48$

D'où

$\boxed{P(6<S<14)>0,48}$

Par conséquent, la probabilité que le nombre total d'erreurs sur la journée soit strictement compris entre 6 et 14 est supérieure à $0,48$ .

Épreuve ultime

Probabilités en caisse automatique : loi binomiale et inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Cet exercice est constitué de trois parties indépendantes.

Partie A

On notera $\overline{T}$ et $\overline{E}$ les événements contraires de T et E.

Construire un arbre pondéré représentant la situation puis déterminer $P(\overline{T}\cap E)$ .
Calculer la probabilité qu’une erreur soit détectée lors du contrôle.
Déterminer la probabilité qu’un contrôle total ait été effectué, sachant qu’une erreur a été détectée. On donnera la valeur arrondie au centième.

Partie B

On note X la variable aléatoire égale au nombre d’erreurs détectées lors des contrôles de cette journée.

On admet que la variable aléatoire X suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres.
Déterminer la probabilité qu’exactement 5 erreurs soient détectées. On donnera la valeur arrondie au centième.
Déterminer la probabilité qu’au moins une erreur soit détectée. On donnera la valeur arrondie au centième.
On souhaite modifier le nombre de contrôles déclenchés par la caisse de manière à ce que la probabilité qu’au moins une erreur soit détectée chaque jour soit supérieure à 99 %.
Déterminer le nombre de contrôles que doit déclencher la caisse chaque jour pour que cette contrainte soit respectée.

Partie C

Déterminer les valeurs exactes de l’espérance et de la variance de la variable aléatoire $X_1$ .
On définit la variable aléatoire S par $S = X_1 + X_2 + X_3$ .
Justifier que $E(S) = 9,9$ et que $V(S) = 8,2665$ .
Pour cette question, on utilisera 10 comme valeur de $E(S)$ .
À l’aide de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrer que la probabilité que le nombre total d’erreurs sur la journée soit strictement compris entre 6 et 14 est supérieure à 0,48.

On considère les événements suivants :

$\bullet$ T : ''Le contrôle est un contrôle total'' ;
$\bullet$ E : ''Une erreur est détectée lors du contrôle''.

Partie A

Arbre pondéré modélisant la situation.

$\bullet$ Si un contrôle est déclenché, il s'agit une fois sur dix d'un contrôle total.

Donc $P(T)=0,1$ .

$\bullet$ En cas de contrôle total, une erreur du client est détectée dans 30~% des cas.

Donc $P_T(E)=0,3$ .

$\bullet$ En cas de contrôle partiel, il n'y a pas d'erreur détectée dans 85~% des cas.

Donc $P_{\overline T}(\overline E)=0,85$ .

D'où l'arbre pondéré ci-dessous.

picture-in-text

Nous devons déterminer $P(\overline T\cap E)$ .

$P(\overline T\cap E)=P(\overline T)\times P_{\overline T}(E)$
$=0,9\times0,15$
$=0,135$

$\Longrightarrow\quad\boxed{P(\overline T\cap E)=0,135}$

Calculons la probabilité qu'une erreur soit détectée lors d'un contrôle, soit $P(E)$ .

Les événements $T$ et $\overline T$ forment une partition de l'univers.
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :

$P(E)=P(T\cap E)+P(\overline T\cap E)$
$=P(T)\times P_T(E)+0,135$
$=0,1\times0,3+0,135$
$=0,165$

$\Longrightarrow\quad\boxed{P(E)=0,165}$

Par conséquent, la probabilité qu'une erreur soit détectée lors d'un contrôle est égale à $0,165$ .

Déterminons la probabilité qu'un contrôle total ait été effectué, sachant qu'une erreur a été détectée, soit $P_E(T)$ .
On donnera la valeur arrondie au centième.

$P_E(T)=\dfrac{P(T\cap E)}{P(E)}$
$=\dfrac{0,1\times0,3}{0,165}$
$\approx0,18$

$\Longrightarrow\quad\boxed{P_E(T)\approx0,18}$

Partie B

On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre d'erreurs détectées lors des contrôles de cette journée.

On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont nous devons préciser les paramètres.

Nous avons : $n=15$ et $p=0,165$ .

D'où la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale $\mathscr B(15~;~0,165)$ .

Cette loi est donnée par :

$P(X=k)=\begin{pmatrix}15\\k\end{pmatrix}\times(0,165)^k\times(1-0,165)^{15-k}$

soit

$\boxed{P(X=k)=\begin{pmatrix}15\\k\end{pmatrix}\times(0,165)^k\times(0,835)^{15-k}}$

Nous devons déterminer la probabilité qu'exactement 5 erreurs soient détectées. On donnera la valeur arrondie au centième.

Nous devons donc calculer $P(X=5)$ .

$P(X=5)=\begin{pmatrix}15\\5\end{pmatrix}\times(0,165)^5\times(0,835)^{10}$
$\approx0,06$

$\Longrightarrow\quad\boxed{P(X=5)\approx0,06}$

Par conséquent, la probabilité qu'exactement 5 erreurs soient détectées est environ égale à $0,06$ (valeur arrondie au centième).

Nous devons déterminer la probabilité qu'au moins une erreur soit détectée. On donnera la valeur arrondie au centième.

Nous devons donc calculer $P(X\geq1)$ .

$P(X\geq1)=1-P(X=0)$
$=1-\begin{pmatrix}15\\0\end{pmatrix}\times(0,165)^0\times(0,835)^{15}$
$=1-(0,835)^{15}$
$\approx0,93$

$\Longrightarrow\quad\boxed{P(X\geq1)\approx0,93}$

Par conséquent, la probabilité qu'au moins une erreur soit détectée est environ égale à $0,93$ (valeur arrondie au centième).

On souhaite modifier le nombre de contrôles déclenchés par la caisse de manière à ce que la probabilité qu'au moins une erreur soit détectée chaque jour soit supérieure à 99~%.

Nous devons déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $P(X\geq1)\geq0,99$ .

$P(X\geq1)\geq0,99$
$\Longleftrightarrow1-P(X=0)\geq0,99$
$\Longleftrightarrow1-(0,835)^n\geq0,99$
$\Longleftrightarrow(0,835)^n\leq0,01$

$\Longleftrightarrow\ln(0,835^n)\leq\ln(0,01)$
$\Longleftrightarrow n\ln(0,835)\leq\ln(0,01)$
$\Longleftrightarrow n\geq\dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,835)}$

(changement de sens de l'inégalité car $\ln(0,835)<0$ )

$\dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,835)}\approx25,54$

Donc le plus petit entier naturel vérifiant l'inégalité est $n=26$ .

Par conséquent, la caisse doit déclencher au moins 26 contrôles pour que la probabilité qu'au moins une erreur soit détectée chaque jour soit supérieure à $99~\%.$

Partie C

Le magasin comporte trois caisses automatiques identiques qui, lors d'une journée, ont chacune déclenché 20 contrôles.

On note $X_1,X_2$ et $X_3$ les variables aléatoires associant à chacune des caisses le nombre d'erreurs détectées lors de cette journée.

On admet que les variables aléatoires $X_1,X_2$ et $X_3$ sont indépendantes entre elles et suivent chacune une loi binomiale $\mathscr B(20~;~0,165)$ .

Nous devons déterminer les valeurs exactes de l'espérance et de la variance de la variable aléatoire $X_1$ .

$\bullet$ Calculons l'espérance $E(X_1)$ .

$E(X_1)=np$
$=20\times0,165$
$=3,3$

$\Longrightarrow\quad\boxed{E(X_1)=3,3}$

$\bullet$ Calculons la variance $V(X_1)$ .

$V(X_1)=np(1-p)$
$=20\times0,165\times0,835$
$=2,7555$

$\Longrightarrow\quad\boxed{V(X_1)=2,7555}$

On définit la variable aléatoire $S$ par $S=X_1+X_2+X_3$ .

Nous devons justifier que $E(S)=9,9$ et que $V(S)=8,2665$ .

$E(S)=E(X_1+X_2+X_3)$
$=E(X_1)+E(X_2)+E(X_3)$
$=3,3+3,3+3,3$
$=9,9$

$\Longrightarrow\quad\boxed{E(S)=9,9}$

$V(S)=V(X_1+X_2+X_3)$
$=V(X_1)+V(X_2)+V(X_3)$
$=2,7555+2,7555+2,7555$
$=8,2665$

$\Longrightarrow\quad\boxed{V(S)=8,2665}$

Pour cette question, on utilisera 10 comme valeur de $E(S)$ .

À l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrer que la probabilité que le nombre total d'erreurs sur la journée soit strictement compris entre 6 et 14 est supérieure à 0,48.

Nous devons montrer : $P(6<S<14)>0,48$ .

$P(6<S<14)=P(-4<S-10<4)$
$=P(|S-10|<4)$
$=1-P(|S-10|\geq4)$

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev :

$P(|S-E(S)|\geq a)\leq\dfrac{V(S)}{a^2}$ où $a>0$ .

En posant $a=4$ :

$P(|S-10|\geq4)\leq\dfrac{8,2665}{16}$

Donc

$P(6<S<14)\geq1-\dfrac{8,2665}{16}$

$1-\dfrac{8,2665}{16}\approx0,4833>0,48$

D'où

$\boxed{P(6<S<14)>0,48}$

Par conséquent, la probabilité que le nombre total d'erreurs sur la journée soit strictement compris entre 6 et 14 est supérieure à $0,48$ .

Probabilités en caisse automatique : loi binomiale et inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Énoncé

Partie A

Partie B

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Énoncé

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Partie A

Partie B

Partie C