Variables aléatoires indépendantes

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I. Définition

Deux variables aléatoires $X$ et $Y$ sont dites indépendantes lorsque les valeurs prises par $X$ n’influencent pas les valeurs prises par $Y$.

II. Propriété

Soient $X$ une variable aléatoire qui prend les valeurs $x_1, \dots, x_n$ et $Y$ une variable aléatoire qui prend les valeurs $y_1, \dots, y_m$, où $n$ et $m$ sont des entiers naturels non nuls.

$X$ et $Y$ sont indépendantes si et seulement si, quelles que soient les valeurs de $x_i$ et $y_j$ avec $1 \leq i \leq n$, $1 \leq j \leq m$ :

$P(X = x_i \cap Y = y_j) = P(X = x_i) \times P(Y = y_j)$

III. Exemple

On lance successivement deux dés équilibrés :

• Le premier a quatre faces numérotées de 1 à 4.

• Le second a six faces numérotées 0, 3, 3, 6, 6 et 6.

$X$ (resp. $Y$) est la variable aléatoire qui donne le numéro obtenu avec le premier (resp. second) dé.

Les variables aléatoires $X$ et $Y$ sont indépendantes, car les deux lancers de dés le sont.

Ainsi, par exemple :

$P(X = 1 \cap Y = 3) = P(X = 1) \times P(Y = 3)$

On a : $P(X = 1) = \dfrac{1}{4}$ et $P(Y = 3) = \dfrac{1}{3}$

Donc : $P(X = 1 \cap Y = 3) = \dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{12}$