I. Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Théorème :

Soit $X$ une variable aléatoire d’espérance $E(X)$ et de variance $V(X)$ . Alors :

\forall a > 0\quad P(|X - E(X)| \geq a) \leq \dfrac{V(X)}{a^2}.

Démonstration

On a $V(X) = E[(X - E(X))^2]$ .

Puisque $(X - E(X))^2$ est une variable aléatoire positive, l’inégalité de Markov donne :

$P((X - E(X))^2 \geq a^2) \leq \dfrac{E[(X - E(X))^2]}{a^2}$ .

Or, par définition de la variance : $E[(X - E(X))^2] = V(X)$ .

Donc : $P(|X - E(X)| \geq a) \leq \dfrac{V(X)}{a^2}$ .

II. Exemple

Soit $X \sim B(100; 0,2)$ .

$\circ\quad$ Par l’inégalité de Markov, majorer $P(X \geq 20)$ et $P(X \geq 80)$ .

L’univers de $X$ est $X(\Omega) = {0 ; 100}$ et $E(X) = 20$ .

$P(X \geq 20) \leq \dfrac{E(X)}{20} = \dfrac{20}{20} = 1$ .

$P(X \geq 80) \leq \dfrac{E(X)}{80} = \dfrac{20}{80} = \dfrac{1}{4}$ .

$\circ\quad$ Par l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, minorer P(0 < X < 40).

P(0 < X < 40) = P(-20 < X - 20 < 20).

Or, P(|X - 20| < 20) = 1 - P(|X - 20| \geq 20).

Par l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev :

$P(|X - 20| \geq 20) \leq \dfrac{V(X)}{20^2}$ .

Donc P(0 < X < 40) \geq 1 - \dfrac{V(X)}{20^2}.

Ainsi, P(0 < X < 40) \geq \dfrac{96}{100}.