Variables aléatoires 𝑋 + 𝑌 et 𝑎𝑌, 𝑎 ∈ ℝ∗

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I. Rappels

Définition : (Variable aléatoire)
Une variable aléatoire notée $X$ est une fonction définie sur l’univers $\Omega$ et à valeurs dans $\mathbb{R}$ qui, à chaque issue de $\Omega$, associe un réel.

Définition : (Loi de probabilité)
Soit $X$ une variable aléatoire définie sur $\Omega$. Définir la loi de probabilité de $X$, c’est associer à chaque valeur $x_i$ prise par $X$ la probabilité de l’événement ${X = x_i}$ notée $P(X = x_i)$ ou plus simplement $p_i$.

On présente la loi de probabilité de $X$ sous la forme d’un tableau :

On a : $p_1 + \dots + p_n = 1$

Exemple :
On lance une pièce de monnaie équilibrée.

• Si on obtient pile, on gagne 5 €.

• Si on obtient face, on gagne 2 €.

On définit la variable aléatoire $X$ qui correspond au gain du joueur en euros.

Les valeurs prises par $X$ sont 2 et 5.

Déterminons la loi de $X$ :

• La probabilité d’obtenir pile est $\dfrac{1}{2}$, donc $P(X = 5) = \dfrac{1}{2}$.

• La probabilité d’obtenir face est $\dfrac{1}{2}$, donc $P(X = 2) = \dfrac{1}{2}$.

On peut représenter la loi de probabilité sous forme de tableau :

II. Variable aléatoire $X+Y$

Définitions :

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires définies sur $\Omega$.
$X$ prend les valeurs $x_1, \dots, x_n$ et $Y$ prend les valeurs $y_1, \dots, y_m$ (avec $n$ et $m$ deux entiers naturels non nuls).

$\circ\quad$ La variable aléatoire $X+Y$
$X+Y$ prend toutes les valeurs possibles $x_i + y_j$ avec : $1 \leq i \leq n$, $1 \leq j \leq m$.

$\circ\quad$ Loi de probabilité de $X+Y$
Pour toute valeur $w$ prise par $X+Y$, $P(X+Y = w)$ est la somme de toutes les probabilités $P(\{X = x_i\} \cap \{Y = y_j\})$ où $x_i + y_j = w$.

Exemple :

En période de réglage de ses machines, le contrôleur qualité d’une usine effectue de nombreux prélèvements dans la production et relève, pour chaque pièce, si elle a un défaut $A$ ou un défaut $B$.

Compte tenu du grand nombre de pièces prélevées, les fréquences indiquées dans ce tableau peuvent être associées à des probabilités.

$X$ (resp. $Y$) est la variable aléatoire qui compte le nombre de défauts $A$ (resp. $B$).

Dans le tableau figurent les valeurs prises par la variable aléatoire somme $S = X + Y$, dont la loi est donnée ci-dessous :

$P(S = 1) = P(\{X = 0\} \cap \{Y = 1\}) + P(\{X = 1\} \cap \{Y = 0\})$

$P(S = 1) = 0.18 + 0.15 = 0.33$

II. Variable aléatoire $aX$

Définitions :

Soit $X$ une variable aléatoire définie sur $\Omega$ et soit $a \in \mathbb{R}$.

$\circ\quad$ La variable aléatoire $aX$
$aX$ prend toutes les valeurs possibles $a \times x_i$, avec $1 \leq i \leq n$.

$\circ\quad$ Loi de probabilité de $aX$
Pour toute valeur $w$ prise par $aX$, $P(aX = w)$ est égale à la probabilité $P({X = x_i})$ où $a \times x_i = w$.

Exemple :

On lance un dé équilibré à six faces numérotées de 1 à 6.

$\circ\quad$$X$ est la variable aléatoire qui donne le numéro obtenu.

$\circ\quad$$Y$ est la variable aléatoire qui donne le double de ce numéro.

Alors, on a : $Y = 2X$.