Bienaymé-Tchebychev

Partie A

Au tennis, le joueur qui est au service peut, en cas d'échec lors du premier service, servir une deuxième balle.
En match, Abel réussit son premier service dans 70 % des cas. Lorsque le premier service est réussi, il gagne le point dans 80 % des cas.
En revanche, après un échec à son premier service, Abel gagne le point dans 45 % des cas.
Abel est au service.

On considère les événements suivants :

$S$ : « Abel réussit son premier service »

$G$ : « Abel gagne le point ».

1. Nous devons décrire l'événement $\overline S$ puis traduire la situation par un arbre pondéré.

L'événement $\overline S$ est : « Abel ne réussit pas son premier service ».

Arbre pondéré modélisant la situation.

2. Nous devons calculer $P(S \cap G)$.

$P(S \cap G)=P(S)\times P_S(G)$
$\phantom{P(S \cap G)}=0,7\times 0,8$
$\phantom{P(S \cap G)}=0,56$

$\Longrightarrow\ \boxed{P(S \cap G)=0,56}$

3. Nous devons justifier que la probabilité de l'événement $G$ est égale à 0,695.

Les événements $S$ et $\overline S$ forment une partition de l'univers.
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :

$P(G)=P(S\cap G)+P(\overline S\cap G)$
$\phantom{P(G)}=0,56+P(\overline S)\times P_{\overline S}(G)$
$\phantom{P(G)}=0,56+0,3\times 0,45$
$\phantom{P(G)}=0,695$

$\Longrightarrow\ \boxed{P(G)=0,695}$

4. Abel a gagné le point. Nous devons déterminer quelle est la probabilité qu'il ait réussi son premier service, soit $P_G(S)$.

$P_G(S)=\dfrac{P(S\cap G)}{P(G)}$
$\phantom{P_G(S)}=\dfrac{0,56}{0,695}=\dfrac{112}{139}$

$\Longrightarrow\ \boxed{P_G(S)=\dfrac{112}{139}\approx0,806}$

Par conséquent, sachant que Abel a gagné le premier point, la probabilité qu'il ait réussi son premier service est d'environ 0,806.

5. Déterminons si les événements $S$ et $G$ sont indépendants.

Les événements $S$ et $G$ sont indépendants si et seulement si $P(S\cap G)=P(S)\times P(G)$.

Or
$\left\lbrace\begin{matrix} P(S\cap G)=0,56\\ P(S)=0,7\\ P(G)=0,695\\ 0,56\neq 0,7\times0,695 \end{matrix}\right.$

$\Longrightarrow\ \boxed{P(S\cap G)\neq P(S)\times P(G)}$

Nous en déduisons que les événements $S$ et $G$ ne sont pas indépendants.

Partie B

À la sortie d'une usine de fabrication de balles de tennis, une balle est jugée conforme dans 85 % des cas.

1. On teste successivement 20 balles. On considère que le nombre de balles est suffisamment grand pour assimiler ces tests à un tirage avec remise. On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de balles conformes parmi les 20 testées.

2. a. Déterminons quelle est la loi suivie par $X$ et quels sont ses paramètres.

Lors de cette expérience, on répète 20 fois des épreuves identiques et indépendantes.
Chaque épreuve comporte deux issues :
Succès : « la balle est jugée conforme » dont la probabilité est $p=0,85$.
Échec : « la balle n'est pas jugée conforme » dont la probabilité est $1-p=0,15$.

La variable aléatoire $X$ compte le nombre de balles conformes, soit le nombre de succès à la fin de la répétition des épreuves.
D'où la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale $\mathscr B(20\,;_,0,85)$.

Cette loi est donnée par :
$\boxed{P(X=k)=\begin{pmatrix}20\\k\end{pmatrix}\times0,85^k\times0,15^{20-k}}$

1. b. Nous devons calculer $P(X\le 18)$.

À l'aide de la calculatrice, nous obtenons :
$P(X\le 18)\approx0,824$.

1. c. Nous devons déterminer quelle est la probabilité qu'au moins deux balles ne soient pas conformes parmi les 20 balles testées.

L'événement « au moins deux balles ne sont pas conformes parmi les 20 balles testées » est identique à l'événement « au plus 18 balles sont conformes parmi les 20 balles testées », ce qui correspond à $X\le 18$, dont la probabilité a été calculée dans la question précédente.

Par conséquent, la probabilité qu'au moins deux balles ne soient pas conformes parmi les 20 balles testées est environ égale à 0,824.

1. d. Déterminons l'espérance $E(X)$ de la variable aléatoire $X$.

$E(X)=np$
$\phantom{E(X)}=20\times0,85$
$\phantom{E(X)}=17$

$\Longrightarrow\ \boxed{E(X)=17}$

D'où l'espérance de la variable aléatoire $X$ est égale à 17.

2. On teste maintenant $n$ balles successivement. On considère les $n$ tests comme un échantillon de $n$ variables aléatoires $X_i$ indépendantes suivant la loi de Bernoulli de paramètre 0,85.

Rappelons que si $X_i$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $p$, alors $E(X_i)=p$ et $V(X_i)=p(1-p)$.

On considère la variable aléatoire
$M_n=\displaystyle\sum_{i=1}^n\dfrac{X_i}{n}=\dfrac{X_1}{n}+\dfrac{X_2}{n}+\dfrac{X_3}{n}+\ldots+\dfrac{X_n}{n}$

2. a. Déterminer l'espérance et la variance de $M_n$.

Déterminons l'espérance de la variable aléatoire $M_n$.

$E(M_n)=E\left(\dfrac{X_1+X_2+\cdots+X_n}{n}\right)$
$\phantom{E(M_n)}=\dfrac{1}{n}E(X_1+X_2+\cdots+X_n)$
$\phantom{E(M_n)}=\dfrac{1}{n}\left(E(X_1)+E(X_2)+\cdots+E(X_n)\right)$
$\phantom{E(M_n)}=\dfrac{1}{n}(n\times0,85)$
$\phantom{E(M_n)}=0,85$

$\Longrightarrow\ \boxed{E(M_n)=0,85}$

Déterminons la variance de la variable aléatoire $M_n$.

$V(M_n)=V\left(\dfrac{X_1+X_2+\cdots+X_n}{n}\right)$
$\phantom{V(M_n)}=\left(\dfrac{1}{n}\right)^2V(X_1+X_2+\cdots+X_n)$
$\phantom{V(M_n)}=\dfrac{1}{n^2}\left(V(X_1)+V(X_2)+\cdots+V(X_n)\right)$
$\phantom{V(M_n)}=\dfrac{1}{n^2}(n\times0,1275)$
$\phantom{V(M_n)}=\dfrac{0,1275}{n}$

$\Longrightarrow\ \boxed{V(M_n)=\dfrac{0,1275}{n}}$

2. b. Après avoir rappelé l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrons que, pour tout entier naturel $n$,
   $P(0,75<M_n<0,95)\ge 1-\dfrac{12,75}{n}$.

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev :
$P(|M_n-E(M_n)|\ge a)\le\dfrac{V(M_n)}{a^2}$ avec $a>0$.

Nous observons que :

$P(0,75<M_n<0,95)=P(-0,10<M_n-0,85<0,10)$
$\phantom{P(0,75<M_n<0,95)}=P(|M_n-0,85|<0,10)$
$\phantom{P(0,75<M_n<0,95)}=1-P(|M_n-0,85|\ge0,10)$

$\Longrightarrow\ \boxed{P(0,75<M_n<0,95)=1-P(|M_n-0,85|\ge0,10)}$

Utilisons l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev avec $a=0,10$.

$P(|M_n-0,85|\ge0,10)\le\dfrac{0,1275/n}{0,10^2}=\dfrac{12,75}{n}$

$\Longrightarrow\ \boxed{P(0,75<M_n<0,95)\ge1-\dfrac{12,75}{n}}$

2. c. Nous devons en déduire un entier $n$ tel que la moyenne du nombre de balles conformes pour un échantillon de taille $n$ appartienne à l'intervalle ]0,75 ; 0,95[ avec une probabilité supérieure à 0,9.

$P(0,75<M_n<0,95)\ge1-\dfrac{12,75}{n}\ge0,9$

$1-\dfrac{12,75}{n}\ge0,9$
$\Longleftrightarrow\ 0,1\ge\dfrac{12,75}{n}$
$\Longleftrightarrow\ n\ge127,5$

Le plus petit entier vérifiant cette inégalité est $n=128$.

Par conséquent, il faut que l'échantillon ait une taille supérieure ou égale à 128 pour que la moyenne du nombre de balles conformes appartienne à l'intervalle ]0,75 ; 0,95[ avec une probabilité supérieure à 0,9.