Modélisation et croissance exponentielle

Exercice 1

1. Modélisation.

Une augmentation de $4\%$ signifie multiplier par :

$1+0,04=1,04$

Donc : $P_{n+1}=1,04P_n$

La suite est géométrique de raison $1,04$.

2. Expression de $P_n$.

$P_n=10~000 \times 1,04^n$

3. Calcul de $P_5$.

$P_5=10~000 \times 1,04^5$

$1,04^5 \approx 1,2167$

Donc : $P_5 \approx 12~167$

Exercice 2

1. Calculer $C(0)$.

$C(0)=2000e^{0}=2000$

2. Sens de variation.

$C'(t)=2000\times 0,05 e^{0,05t}$

$C'(t)=100e^{0,05t}$

Comme $e^{0,05t}>0$, on a $C'(t)>0$.

Donc $C$ est strictement croissante.

3. Pourquoi croissance exponentielle ?

La variable est dans l’exposant.

La croissance s’accélère avec le temps.

👉 Conseil : la croissance exponentielle n’est pas linéaire, elle devient de plus en plus rapide. On peut tout aussi bien avoir une décroissance exponentielle.