Une étude de fonction complète

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb R$par $f(x)=e^{2x}-4e^x+3$

1) Calculer $f'(x)$

• On dérive terme à terme.

  La dérivée de $e^{2x}$ est : $2e^{2x}$

  La dérivée de $-4e^x$ est : $-4e^x$

  La dérivée de $3$ est : $0$

  Donc : $f'(x)=2e^{2x}-4e^x$

  👉 Conseil : pour $e^{ax}$, pense toujours à multiplier par la dérivée de l’exposant.

  On factorise : $f'(x)=2e^x(e^x-2)$

  👉 Conseil : dès qu’il y a $e^{2x}$ et $e^x$, pense à écrire $e^{2x}=e^x \times e^x$ pour factoriser.

  2) Étudier le signe de $f'(x)$

  On a : $f'(x)=2e^x(e^x-2)$

  On sait que :

  $e^x>0$ pour tout réel $x$

  Donc $2e^x>0$ pour tout $x$.

  👉 Conseil : rappelle-toi que l’exponentielle n’est jamais nulle.

  Le signe de $f'(x)$ a le signe de $(e^x-2)$.

  On cherche quand : $e^x-2=0$

  Cela donne : $e^x=2$

  On garde cette valeur comme point critique.

  Donc :

  • si $e^x<2$, alors $f'(x)<0$

  • si $e^x>2$, alors $f'(x)>0$

  👉 Conseil : ne cherche pas la valeur numérique exacte de $x$, on peut raisonner directement avec $e^x$.

  3) Dresser le tableau de variation

  Puisque :

  $f'(x)<0$ quand $e^x<2$
  $f'(x)>0$ quand $e^x>2$

  La fonction décroît puis croît.

  Elle admet donc un minimum lorsque :

  $e^x=2$

  On calcule la valeur minimale.

  On pose $X=e^x$ et on remplace $X$ par $2$ :

  $f(x)=X^2-4X+3$

  $f(2)=2^2-4\times 2+3$

  $f(2)=4-8+3$

  $f(2)=-1$

  Donc le minimum vaut $-1$.

  👉 Conseil : la substitution $X=e^x$ simplifie énormément les calculs.

  4) Résoudre $f(x)=0$

  On résout :

  $e^{2x}-4e^x+3=0$

  On pose : $X=e^x$

  Alors : $X^2-4X+3=0$

  On factorise :

  $(X-1)(X-3)=0$

  Donc :

  $X=1$ ou $X=3$

  On revient à $x$ :

  $e^x=1 \Rightarrow x=0$

  $e^x=3$ reste sous forme exacte.

  Solutions :

  $x=0$ ou $e^x=3$

  👉 Conseil : sans logarithme, on laisse la solution $e^x=3$ sous cette forme.

  5) Limite quand $x\to +\infty$

  Quand $x\to +\infty$ :

  $f(x)=e^{2x}-4e^x+3=e^x(e^x-4)+3$

• Sous cette forme, l'exponentielle tend vers $+\infty$, la parenthèse $(e^x-4)$ également, donc le produit des deux $e^x(e^x-4)$ également, et l'ajout de la constante 3 ne change rien.

  Donc : $f(x)\to +\infty$

  👉 Conseil : dans une somme d’exponentielles, le terme avec l’exposant le plus grand domine.

  6) Limite quand $x\to -\infty$

  Quand $x\to -\infty$ :

  $e^{2x}\to 0$
  $e^x\to 0$

  Donc :

  $f(x)\to 3$

  👉 Conseil : pour $x$ très négatif, les exponentielles deviennent très petites.