Etude, variations de la fonction exponentielle

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I. Nouvelle notation

On sait que : Pour tout réel $x$ et tout $n$ de $Z$, $\exp(nx) = (\exp(x))^n$

On en déduit une nouvelle notation, qui sera la notation définitive.

Prenons $x = 1$. Cela donne : pour tout $n$ de $Z$, $\exp(n) = (\exp(1))^n$
Mais $\exp(1) = e$.
Et on obtient : pour tout $n$ de $Z$, $\exp(n) = e^n$

On étend cette écriture aux réels, et on note : pour tout $x$ de $R$, $\boxed{\exp(x) = e^x}$

On retiendra alors :
$\circ\quad$ $e^0 = 1$
$\circ\quad$ $e^1 = e$
$\circ\quad$ Pour tous réels $x$ et $y$, $e^{x + y} = e^x e^y$
$\circ\quad$ Pour tout réel $x$, $e^{-x} = \dfrac{1}{e^x}$
$\circ\quad$ Pour tous réels $x$ et $y$, $e^{x - y} = \dfrac{e^x}{e^y}$
$\circ\quad$ Pour tout $x$ réel et $n$ dans $Z$, $\left(e^x\right)^n = e^{nx}$

II. Signe de la fonction exponentielle

Propriété : $\forall x \in \mathbb{R}, e^x \gt 0$.

Exemples : $e^5 \gt 0$ ; $e^{-2}\gt 0$

III. Variation et courbe

On sait que pour tout $x$ réel, $\exp'(x) = e^x \gt 0$
La fonction exponentielle est donc une fonction dérivable strictement croissante sur $R$.

On peut démontrer (admis ici), que le tableau de variation de la fonction exponentielle est :

Propriété :
Pour tous réels $a$ et $b$ fixés, la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = e^{ax + b}$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et, pour tout réel $x$, $f'(x) = a e^{ax + b}$.

Exemple :
Soit $f(x) = e^{2x + 4}$, avec $a = 2$ et $b = 4$.
Alors $f'(x) = 2 e^{2x + 4}$.

Propriété :
Pour tous réels $a$ et $b$ :

$\circ\quad e^a = e^b \iff a = b$
$\circ\quad e^a \lt e^b \iff a \lt b$
$\circ\quad e^a \gt e^b \iff a \gt b$

On obtient la représentation graphique suivante, sur laquelle on peut ajouter la tangente au point de coordonnées $(0;1)$ puisque le nombre dérivé en $0$ a même valeur que la valeur de la fonction en ce point, c'est-à-dire $1$.

On parle de croissance ou de décroissance exponentielle (démographie, placement d'argent, phénomènes biologiques ou physiques).

Quelques exemples de courbes :