I. Nouvelle notation
On sait que : Pour tout réel et tout de ,
On en déduit une nouvelle notation, qui sera la notation définitive.
Prenons . Cela donne : pour tout de ,
Mais .
Et on obtient : pour tout de ,
On étend cette écriture aux réels, et on note : pour tout de ,
On retiendra alors :
Pour tous réels et ,
Pour tout réel ,
Pour tous réels et ,
Pour tout réel et dans ,
II. Variation et courbe
On sait que pour tout réel,
La fonction exponentielle est donc une fonction dérivable strictement croissante sur .
On peut démontrer (admis ici), que le tableau de variation de la fonction exponentielle est :
Propriété :
Pour tous réels et fixés, la fonction définie sur par est dérivable sur et, pour tout réel , .
Exemple :
Soit , avec et .
Alors .
Propriété :
Pour tous réels et :
On obtient la représentation graphique suivante, sur laquelle on peut ajouter la tangente au point de coordonnées puisque le nombre dérivé en a même valeur que la valeur de la fonction en ce point, c'est-à-dire .
On parle de croissance ou de décroissance exponentielle (démographie, placement d'argent, phénomènes biologiques ou physiques).
Quelques exemples de courbes :