Etude, variations de la fonction exponentielle

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I. Nouvelle notation

On sait que : Pour tout réel xx et tout nn de ZZ, exp(nx)=(exp(x))n\exp(nx) = (\exp(x))^n

On en déduit une nouvelle notation, qui sera la notation définitive.

Prenons x=1x = 1. Cela donne : pour tout nn de ZZ, exp(n)=(exp(1))n\exp(n) = (\exp(1))^n
Mais exp(1)=e\exp(1) = e.
Et on obtient : pour tout nn de ZZ, exp(n)=en\exp(n) = e^n

On étend cette écriture aux réels, et on note : pour tout xx de RR, exp(x)=ex\boxed{\exp(x) = e^x}

On retiendra alors :
\circ\quad e0=1e^0 = 1
\circ\quad e1=ee^1 = e
\circ\quad Pour tous réels xx et yy, ex+y=exeye^{x + y} = e^x e^y
\circ\quad Pour tout réel xx, ex=1exe^{-x} = \dfrac{1}{e^x}
\circ\quad Pour tous réels xx et yy, exy=exeye^{x - y} = \dfrac{e^x}{e^y}
\circ\quad Pour tout xx réel et nn dans ZZ, (ex)n=enx\left(e^x\right)^n = e^{nx}

II. Variation et courbe

On sait que pour tout xx réel, exp(x)=ex>0\exp'(x) = e^x \gt 0
La fonction exponentielle est donc une fonction dérivable strictement croissante sur RR.

On peut démontrer (admis ici), que le tableau de variation de la fonction exponentielle est :

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Propriété :
Pour tous réels aa et bb fixés, la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=eax+bf(x) = e^{ax + b} est dérivable sur R\mathbb{R} et, pour tout réel xx, f(x)=aeax+bf'(x) = a e^{ax + b}.

Exemple :
Soit f(x)=e2x+4f(x) = e^{2x + 4}, avec a=2a = 2 et b=4b = 4.
Alors f(x)=2e2x+4f'(x) = 2 e^{2x + 4}.

Propriété :
Pour tous réels aa et bb :

ea=eb    a=b\circ\quad e^a = e^b \iff a = b
ea<eb    a<b\circ\quad e^a \lt e^b \iff a \lt b
ea>eb    a>b\circ\quad e^a \gt e^b \iff a \gt b

On obtient la représentation graphique suivante, sur laquelle on peut ajouter la tangente au point de coordonnées (0;1)(0;1) puisque le nombre dérivé en 00 a même valeur que la valeur de la fonction en ce point, c'est-à-dire 11.

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On parle de croissance ou de décroissance exponentielle (démographie, placement d'argent, phénomènes biologiques ou physiques).

Quelques exemples de courbes :

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