Lien entre exponentielle et suite géométrique

I. Propriété

Pour tout réel $a$, la suite $(e^{na})$ définie sur $\mathbb{N}$ est géométrique de premier terme $1$ et de raison $e^a$.

Démonstration

Soit $(u_n)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par :

$u_n = e^{na}$.

Calculons les premiers termes :

$u_0 = e^{0 \cdot a} = e^0 = 1$.

$u_{n+1} = e^{(n+1)a} = e^{na + a} = e^{na} \times e^a = u_n \times e^a$.

La suite $(u_n)$ est donc géométrique de premier terme $u_0 = 1$ et de raison $e^a$.

Ce résultat peut être rapproché de la méthode d'Euler, qui a pu servir à introduire la fonction exponentielle.

II. Méthode d'Euler

La méthode dite d'Euler permet, à l'aide d'un tableur, de trouver des approximations successives de la courbe de cette fonction.

Puisque $f$ est dérivable sur $\mathbb R$, et que pour tout $x$ de $\mathbb R$, on a : $f'(x) = f(x)$, on peut écrire :
Pour tout $a$ de $\mathbb R$ et pour tout $h$ proche de $0$, $f(a + h) = (1 + h)f(a)$.

Sur l'exemple des tracés ci-après, on a choisi $a = 0$ et $h = 0,1$. Ce qui donne : $f(h) = 1 + h$

Et on réitère le procédé en choisissant $a = h$, on obtient $f(2h) = (1 + h)f(h) = (1 + h)^2$

On peut montrer alors pour tout $n$ entier naturel, $f(nh) = (1 + h)^n$ et les termes $f(nh)$ sont les termes d'une suite géométrique de raison $(1 + h)$.

En voici un exemple pour des valeurs sur $[0 ; 2]$.

puis sur $[0 ; 4,5]$