Exponentielle et suites géométriques

Exercice 1

1. Calculer $u_0$.

On remplace $n$ par $0$ :

$u_0=e^{3\times 0}=e^0=1$.

👉 Conseil : toute puissance $e^0$ vaut $1$.

2. Calculer $u_{n+1}$.

$u_{n+1}=e^{3(n+1)}$

$u_{n+1}=e^{3n+3}$

$u_{n+1}=e^{3n}e^3$

Donc : pour tout $n$, $u_{n+1}=u_n \times e^3$.

3. Montrer que $(u_n)$ est géométrique.

On a :

$u_{n+1}=u_n \times e^3$

Donc $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $e^3$.

4. Premier terme et raison.

Premier terme : $u_0=1$
Raison : $q=e^3$

Exercice 2

1. Montrer que $(v_n)$ est géométrique.

$v_{n+1}=e^{-2(n+1)}$

$v_{n+1}=e^{-2n-2}$

$v_{n+1}=e^{-2n}e^{-2}$

Donc : pout tout $n$ entier naturel, $v_{n+1}=v_n \times e^{-2}$

Donc $(v_n)$ est géométrique.

2. Raison.

$q=e^{-2}$

3. Sens de variation.

On sait que $e^{-2}<1$.

Donc la suite est strictement décroissante.

👉 Conseil : pour une suite géométrique, si $0<q<1$, elle est décroissante.